Hình học tọa độ trong không gian 3 chiều mở rộng các khái niệm về hình học vào một không gian bao gồm chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Không gian này được xác định bởi hệ tọa độ Cartesian ba chiều, bao gồm ba trục: trục x (ngang), trục y (dọc) và trục z (độ sâu).
Hệ tọa độ 3D cho phép chúng ta xác định vị trí của các điểm trong không gian ba chiều bằng cách sử dụng các bộ ba có thứ tự \((x, y, z)\) , trong đó \(x\) biểu thị vị trí dọc theo trục x, \(y\) dọc theo trục y và \(z\) dọc theo trục z. Điểm gốc, được ký hiệu là \((0, 0, 0)\) , là điểm mà cả ba trục giao nhau.
Khoảng cách \(d\) giữa hai điểm \((x_1, y_1, z_1)\) và \((x_2, y_2, z_2)\) trong không gian 3D có thể được tính bằng công thức:
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
Một đường ở chế độ 3D có thể được xác định bằng cách sử dụng các phương trình tham số liên quan đến một điểm trên đường thẳng \((x_0, y_0, z_0)\) và vectơ chỉ phương \(\vec{v} = (a, b, c)\) . Các phương trình tham số là:
\(x = x_0 + at\)
\(y = y_0 + bt\)
\(z = z_0 + ct\)
trong đó \(t\) là tham số thay đổi theo số thực.
Một mặt phẳng trong không gian 3D có thể được xác định bằng phương trình có dạng:
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
trong đó \(A\) , \(B\) , \(C\) và \(D\) là các hằng số và \(x\) , \(y\) , và \(z\) là tọa độ của bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng.
Góc \(\theta\) giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\) và \(\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức tích số chấm:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\lVert \vec{v_1} \rVert \lVert \vec{v_2} \rVert} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)
trong đó \(\lVert \vec{v_i} \rVert\) biểu thị độ lớn của vectơ \(\vec{v_i}\) .
Khoảng cách ngắn nhất \(d\) từ một điểm \((x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có thể được tìm thấy bằng công thức:
\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Một đường thẳng được xác định bởi phương trình tham số và một mặt phẳng có thể cắt nhau tại một điểm, song song (không giao nhau) hoặc đường thẳng có thể nằm trên mặt phẳng. Để tìm giao điểm (nếu nó tồn tại), thay thế các phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng và giải tìm tham số \(t\) .
Hệ tọa độ 3D cho phép tính toán thể tích và diện tích bề mặt của các khối hình học như hình cầu, hình trụ và hình chóp. Ví dụ: thể tích \(V\) của hình cầu có bán kính \(r\) là:
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
và diện tích bề mặt \(A\) là:
\(A = 4\pi r^2\)
Hình học tọa độ trong 3D có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như kỹ thuật, thiên văn học, vật lý và đồ họa máy tính. Nó hỗ trợ mô hình hóa các đối tượng trong thế giới thực, hiểu các thuộc tính của chúng và trực quan hóa các hệ thống phức tạp.
Hãy xem xét hai điểm, \(P_1(1, 2, 3)\) và \(P_2(4, 5, 6)\) . Để tìm khoảng cách giữa chúng, chúng ta áp dụng công thức khoảng cách:
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}\)
Cho ba điểm trên một mặt phẳng \(A(1, 0, 0)\) , \(B(0, 1, 0)\) và \(C(0, 0, 1)\) , chúng ta có thể xác định phương trình của mặt phẳng bằng cách giải \(A\) , \(B\) , \(C\) , và \(D\) . Một mặt phẳng như vậy đi qua những điểm này là \(x + y + z - 1 = 0\) .
Hình học tọa độ trong không gian 3 chiều mở rộng dựa trên các nguyên tắc hình dạng, phép đo và phương trình từ hai chiều đến ba chiều. Hiểu hệ tọa độ ba chiều, cùng với các phương trình và khái niệm liên quan đến điểm, đường, mặt phẳng và khối, cung cấp kiến thức nền tảng để khám phá các khái niệm hình học và vật lý phức tạp hơn trong các ứng dụng trong thế giới thực.
