গণিত এবং এর প্রয়োগগুলিতে, গণনা একটি মৌলিক ধারণা যা আমাদের বস্তু, ধারণা এবং ঘটনাগুলি পরিমাপ করতে সাহায্য করে। এটি আরও জটিল গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং সমস্যা সমাধানের কৌশলগুলির ভিত্তি হিসাবে কাজ করে। এই পাঠটি গণনা, স্থানান্তর, সংমিশ্রণ, এবং গণনার নীতিগুলি সহ বেশ কয়েকটি প্রাথমিক গণনা ফর্মের পরিচয় দেবে। এই ফর্মগুলি অন্বেষণ করে, আমরা পদ্ধতিগত গণনা পদ্ধতি এবং তাদের প্রয়োগগুলির একটি ব্যাপক বোঝার বিকাশ করার লক্ষ্য রাখি।
গণনা হল গণনার সহজতম রূপ, যার মধ্যে বস্তু বা সত্তার সরাসরি গণনা জড়িত। এটি একটি সেটের উপাদানগুলিকে পদ্ধতিগতভাবে তালিকাভুক্ত করার প্রক্রিয়া। এই পদ্ধতিটি ছোট সেটের জন্য বিশেষভাবে উপযোগী যেখানে উপাদানগুলি সহজে সনাক্ত করা যায় এবং কোনো হারিয়ে না গিয়ে গণনা করা যায়।
উদাহরণ: তিনটি ফল ধারণকারী একটি সেট বিবেচনা করুন: একটি আপেল, একটি কমলা এবং একটি কলা। গণনার মধ্যে এই ফলগুলি তালিকাভুক্ত করা হয়: 1) আপেল, 2) কমলা, 3) কলা। এইভাবে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে সেটটিতে তিনটি ফল রয়েছে।
পারমুটেশন বলতে নির্দিষ্ট ক্রমে বস্তুর বিন্যাস বোঝায়। ক্রমাগত গণনা করার সময়, আমরা বস্তুর ক্রমকে গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচনা করি। একটি সময়ে নেওয়া \(n\) বস্তুর \ \(r\) স্থানান্তরের সংখ্যা গণনার সূত্রটিকে \(P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!}\) হিসাবে প্রকাশ করা হয় , যেখানে \(n!\) (n ফ্যাক্টরিয়াল) হল \(n\) পর্যন্ত সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল।
উদাহরণ: যদি আমাদের 3টি অক্ষর থাকে: A, B, এবং C, এবং আমরা জানতে চাই কয়টি দুই-অক্ষরের ক্রম গঠিত হতে পারে, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি \(P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6\) । এইভাবে, ক্রমগুলি হল AB, BA, AC, CA, BC, এবং CB।
সংমিশ্রণগুলি ক্রমাগত অনুরূপ, কিন্তু স্থানচ্যুতিগুলির বিপরীতে, বস্তুর ক্রম সংমিশ্রণে গুরুত্বপূর্ণ নয়। এটি একটি গ্রুপ থেকে আইটেম নির্বাচন করার একটি উপায়, যেখানে অর্ডার অপ্রাসঙ্গিক। একটি সময়ে নেওয়া \(n\) \(r\) সংমিশ্রণের সংখ্যা গণনার সূত্রটি \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!}\) দ্বারা দেওয়া হয়। \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!}\) ।
উদাহরণ: আমাদের 3টি অক্ষরের পূর্ববর্তী উদাহরণের সাথে অবিরত: A, B, এবং C, যদি আমরা জানতে চাই যে কত উপায়ে আমরা ক্রম নির্বিশেষে 2টি অক্ষর নির্বাচন করতে পারি, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি \(C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\) । নির্বাচনগুলি হল AB, AC, এবং BC.
গণনার নীতিগুলির মধ্যে দুটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম রয়েছে: যোগ করার নিয়ম এবং গুণের নিয়ম , যা আমাদের অনুমতি দেয়
পদ্ধতিগতভাবে আরও জটিল গণনা সমস্যা সমাধান করতে।
সংযোজন বিধি বলে যে ঘটনা A যদি \(m\) উপায়ে ঘটতে পারে এবং ঘটনা B \(n\) উপায়ে ঘটতে পারে এবং দুটি ঘটনা একই সাথে ঘটতে পারে না, তাহলে এর জন্য \(m + n\) উপায় রয়েছে ঘটনা A বা ঘটনা B ঘটতে হবে। পারস্পরিক একচেটিয়া ইভেন্টগুলিতে ফলাফলের সংখ্যা গণনা করার সময় এই নীতিটি প্রায়শই প্রয়োগ করা হয়।
উদাহরণ: যদি আপনার কাছে 3টি ভিন্ন স্যান্ডউইচ এবং 2টি ভিন্ন পানীয় মধ্যাহ্নভোজনের জন্য একটি পছন্দ থাকে, কিন্তু আপনি শুধুমাত্র একটি স্যান্ডউইচ বা একটি পানীয় বেছে নেবেন, তাহলে \(3 + 2 = 5\) সম্ভাব্য মধ্যাহ্নভোজনের পছন্দ রয়েছে।
গুণের নিয়ম বলে যে ঘটনা A যদি \(m\) উপায়ে ঘটতে পারে এবং এটি ঘটার পরে, ঘটনা B ঘটতে পারে \(n\) উপায়ে, তাহলে দুটি ঘটনার ক্রম \(m \times n\) এ ঘটতে পারে। \(m \times n\) উপায়। এই নীতিটি ব্যবহৃত হয় যখন একটি ঘটনার ফলাফল অন্য ঘটনার ফলাফলকে প্রভাবিত করে।
উদাহরণ: পূর্ববর্তী উদাহরণ অনুসরণ করে, আপনি যদি দুপুরের খাবারের জন্য একটি স্যান্ডউইচ এবং একটি পানীয় উভয়ই বেছে নেওয়ার সিদ্ধান্ত নেন, তাহলে স্যান্ডউইচের জন্য \(3\) বিকল্প এবং পানীয়ের জন্য \(2\) বিকল্প রয়েছে, যা মোট \(3 \times 2 = 6\) সম্ভাব্য মধ্যাহ্নভোজের সংমিশ্রণ।
ব্যবহারিক পরীক্ষার মাধ্যমে গণনার ফর্ম বোঝা বাড়ানো যেতে পারে। যদিও আমরা অনুশীলনের জন্য জিজ্ঞাসা করি না, এখানে একটি ধারণাগত পরীক্ষা রয়েছে:
রঙিন বল ধারণকারী একটি ব্যাগ বিবেচনা করুন: 2 লাল, 3 নীল এবং 4 সবুজ। আমরা যদি ব্যাগ থেকে যেকোনো রঙের 2টি বল বেছে নেওয়ার উপায় জানতে চাই, তাহলে আমরা সংমিশ্রণ ব্যবহার করতে পারি কারণ নির্বাচনের ক্রম কোন ব্যাপার না। এর জন্য পুনরাবৃত্তির সাথে সংমিশ্রণের বোঝার প্রয়োজন হবে, একটি ধারণা যা সমন্বয়ের মৌলিক ধারণাকে প্রসারিত করে।
গণনা ফর্ম বিশুদ্ধ গণিত সীমাবদ্ধ নয়. তারা বিভিন্ন ক্ষেত্র জুড়ে অ্যাপ্লিকেশন খুঁজে পায়:
উপসংহারে, গণিতের ফর্মগুলি গণিতের অপরিহার্য সরঞ্জাম যা আমাদেরকে পদ্ধতিগতভাবে পরিমাপ, বিশ্লেষণ এবং সমস্যার সমাধান করতে দেয়। সাধারণ গণনা থেকে শুরু করে উন্নত পারমুটেশন এবং সংমিশ্রণ পর্যন্ত, এই ধারণাগুলি বোঝার ফলে বিভিন্ন শাখায় ব্যবহারিক এবং তাত্ত্বিক সমস্যা সমাধানের সম্ভাবনার একটি জগত খুলে যায়।
