در ریاضیات و کاربردهای آن، شمارش یک مفهوم اساسی است که به ما کمک می کند اشیا، ایده ها و رخدادها را کمی کنیم. این به عنوان پایه ای برای عملیات پیچیده تر ریاضی و تکنیک های حل مسئله عمل می کند. این درس چندین شکل شمارش اولیه، از جمله شمارش، جایگشت ها، ترکیب ها و اصول شمارش را معرفی می کند. با کاوش در این فرم ها، هدف ما ایجاد درک جامعی از روش های شمارش سیستماتیک و کاربردهای آنهاست.
شمارش ساده ترین شکل شمارش است که شامل شمارش مستقیم اشیا یا موجودیت ها می شود. این فرآیند فهرست کردن عناصر در یک مجموعه به طور سیستماتیک است. این روش به ویژه برای مجموعه‌های کوچکی که عناصر را می‌توان به راحتی شناسایی و شمارش کرد، بدون از دست دادن هیچ‌کدام مفید است.
مثال: مجموعه ای حاوی سه میوه را در نظر بگیرید: یک سیب، یک پرتقال و یک موز. شمارش شامل فهرست کردن این میوه ها به شرح زیر است: 1) سیب، 2) پرتقال، 3) موز. بنابراین، نتیجه می گیریم که سه میوه در مجموعه وجود دارد.
جایگشت ها به آرایش اجسام در یک ترتیب خاص اشاره دارد. هنگام شمارش جایگشت ها، دنباله اشیاء را مهم در نظر می گیریم. فرمول محاسبه تعداد جایگشتهای \(n\) اشیاء گرفته شده \(r\) در یک زمان به صورت \(P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!}\) بیان می شود. ، که در آن \(n!\) (n فاکتوریل) حاصلضرب همه اعداد صحیح مثبت تا \(n\) است.
مثال: اگر 3 حرف A، B و C داشته باشیم و بخواهیم بدانیم چند دنباله دو حرفی می توان تشکیل داد، از فرمول \(P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6\) . بنابراین، دنباله ها AB، BA، AC، CA، BC و CB هستند.
ترکیب ها شبیه جایگشت ها هستند، اما بر خلاف جایگشت ها، ترتیب اشیاء در ترکیب ها اهمیتی ندارد. این روشی برای انتخاب موارد از یک گروه است که در آن ترتیب نامربوط است. فرمول محاسبه تعداد ترکیبات \(n\) اشیاء گرفته شده \(r\) در یک زمان با \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!}\) داده می شود. \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!}\) .
مثال: در ادامه مثال قبلی خود از 3 حرف: A، B، و C، اگر بخواهیم بدانیم به چند روش می توانیم 2 حرف را بدون توجه به ترتیب انتخاب کنیم، از فرمول \(C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\) استفاده می کنیم. \(C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\) . انتخاب‌ها AB، AC و BC هستند.
اصول شمارش شامل دو قانون مهم است: قانون جمع و قانون ضرب ، که به ما اجازه می دهد.
برای حل سیستماتیک مسائل شمارش پیچیده تر.
قانون جمع بیان می‌کند که اگر رویداد A می‌تواند به روش‌های \(m\) و رویداد B می‌تواند به روش \(n\) رخ دهد، و این دو رویداد نمی‌توانند همزمان رخ دهند، پس راه‌هایی برای \(m + n\) وجود دارد. یا رویداد A یا رویداد B رخ دهد. این اصل اغلب هنگام شمارش تعداد پیامدها در رویدادهای متقابلاً منحصر به فرد اعمال می شود.
مثال: اگر بین 3 ساندویچ مختلف و 2 نوشیدنی مختلف برای ناهار انتخاب دارید، اما فقط یک ساندویچ یا یک نوشیدنی را انتخاب می کنید، در این صورت \(3 + 2 = 5\) انتخاب ناهار ممکن است.
قانون ضرب بیان می کند که اگر رویداد A می تواند به صورت \(m\) رخ دهد و بعد از وقوع، رویداد B می تواند به روش \(n\) رخ دهد، آنگاه دنباله دو رویداد می تواند در \(m \times n\) رخ دهد. \(m \times n\) راه ها. این اصل زمانی استفاده می شود که نتیجه یک رویداد بر نتیجه رویداد دیگر تأثیر بگذارد.
مثال: به دنبال مثال قبلی، اگر تصمیم دارید هم ساندویچ و هم نوشیدنی را برای ناهار انتخاب کنید، گزینه \(3\) برای ساندویچ و \(2\) گزینه برای نوشیدنی وجود دارد که در مجموع \(3 \times 2 = 6\) می شود. \(3 \times 2 = 6\) ترکیب ناهار ممکن است.
درک فرم های شمارش را می توان از طریق آزمایش های عملی افزایش داد. اگرچه ما برای تمرین نمی خواهیم، در اینجا یک آزمایش مفهومی وجود دارد:
کیسه ای حاوی توپ های رنگی را در نظر بگیرید: 2 عدد قرمز، 3 عدد آبی و 4 عدد سبز. اگر بخواهیم تعداد راه های انتخاب 2 توپ با هر رنگی از کیف را بدانیم، می توانیم از ترکیبات استفاده کنیم زیرا ترتیب انتخاب مهم نیست. این نیاز به درک ترکیبات با تکرار دارد، مفهومی که ایده اصلی ترکیب ها را گسترش می دهد.
فرم های شمارش به ریاضیات محض محدود نمی شود. آنها در زمینه های مختلف کاربرد پیدا می کنند:
برای نتیجه گیری، فرم های شمارش ابزارهای اساسی در ریاضیات هستند که به ما امکان می دهند بطور سیستماتیک مسائل را کمی سازی، تجزیه و تحلیل و حل کنیم. از شمارش ساده تا جایگشت‌ها و ترکیب‌های پیشرفته، درک این مفاهیم دنیایی از امکانات را برای حل مسائل عملی و نظری در رشته‌های مختلف باز می‌کند.
