Математик болон түүний хэрэглээнд тоолох нь объект, санаа, үзэгдлийг тоолоход тусалдаг үндсэн ойлголт юм. Энэ нь илүү нарийн төвөгтэй математикийн үйлдлүүд болон асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын үндэс болдог. Энэ хичээл нь тоолох, солих, хослуулах, тоолох зарчим зэрэг хэд хэдэн үндсэн тоолох хэлбэрийг танилцуулах болно. Эдгээр хэлбэрийг судалснаар бид системчилсэн тоолох арга, тэдгээрийн хэрэглээний талаар цогц ойлголтыг бий болгохыг зорьж байна.
Тооцоолол нь объект эсвэл объектыг шууд тоолохтой холбоотой тоолох хамгийн энгийн хэлбэр юм. Энэ нь багц дахь элементүүдийг системтэйгээр жагсаах үйл явц юм. Энэ арга нь элементүүдийг ямар ч алдаагүйгээр хялбархан тодорхойлж, тоолох боломжтой жижиг багцуудад ялангуяа ашигтай байдаг.
Жишээ нь: Алим, жүрж, банана гэсэн гурван жимс агуулсан багцыг авч үзье. Тооцоололд эдгээр жимсийг 1) Алим, 2) Улбар шар, 3) Банана гэж жагсаана. Тиймээс бид багцад гурван жимс байдаг гэж дүгнэж байна.
Оршил гэдэг нь тодорхой дарааллаар объектуудын зохион байгуулалтыг хэлнэ. Сэлгээг тоолохдоо бид объектуудын дарааллыг чухал гэж үздэг. Нэг удаад \ \(r\) \(n\) объектын сэлгэлтийн тоог тооцоолох томъёог \(P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!}\) хэлбэрээр илэрхийлнэ. , энд \(n!\) (n хүчин зүйл) нь \(n\) хүртэлх бүх эерэг бүхэл тоонуудын үржвэр юм.
Жишээ нь: Хэрэв бидэнд A, B, C гэсэн 3 үсэг байгаа бөгөөд бид хичнээн хоёр үсэгтэй дараалал үүсгэж болохыг мэдэхийг хүсвэл \(P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6\) томъёог ашиглана. \(P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6\) . Тиймээс дараалал нь AB, BA, AC, CA, BC, CB байна.
Хослолууд нь сэлгэлттэй төстэй боловч сэлгэн залгалтаас ялгаатай нь хослолд объектуудын дараалал хамаагүй. Энэ нь дараалал нь хамааралгүй бүлгээс зүйлсийг сонгох арга юм. Нэг удаад \ \(r\) \(n\) объектын хослолын тоог тооцоолох томъёог \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!}\) .
Жишээ: А, В, С гэсэн 3 үсгийн өмнөх жишээг үргэлжлүүлбэл, хэрвээ бид дарааллаас үл хамааран 2 үсгийг хэдэн аргаар сонгож болохыг мэдэхийг хүсвэл \(C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\) томъёог ашиглана. \(C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\) . Сонголтууд нь AB, AC, BC байна.
Тоолох зарчмууд нь нэмэх дүрэм ба үржүүлэх дүрэм гэсэн хоёр чухал дүрмийг агуулдаг.
илүү төвөгтэй тоолох асуудлыг системтэйгээр шийдвэрлэх.
Нэмэлтийн дүрэмд хэрэв А үйл явдал \(m\) хэлбэрээр, В үйл явдал \(n\) хэлбэрээр тохиолдож болох ба хоёр үйл явдал зэрэг тохиолдох боломжгүй бол \(m + n\) арга замууд байдаг гэж заасан байдаг. А үйл явдал эсвэл В үйл явдал тохиолдох. Энэ зарчмыг ихэвчлэн бие биенээ үгүйсгэсэн үйл явдлын үр дүнгийн тоог тоолоход ашигладаг.
Жишээ нь: Хэрэв танд өдрийн хоолондоо 3 өөр сэндвич, 2 өөр ундаа хоёрын хооронд сонголт байгаа ч та зөвхөн сэндвич эсвэл ундааны аль нэгийг сонгох юм бол үдийн цайны сонголт \(3 + 2 = 5\) байна.
Үржүүлэх дүрэмд хэрэв А үйл явдал \(m\) хэлбэрээр тохиолдож болох ба дараа нь В үйл явдал \(n\) хэлбэрээр тохиолдож болох юм бол хоёр үйл явдлын дараалал \(m \times n\) хэлбэрээр тохиолдож болно гэж заасан байдаг. \(m \times n\) арга замууд. Энэ зарчмыг нэг үйл явдлын үр дүн нөгөө үйл явдлын үр дүнд нөлөөлөх үед хэрэглэнэ.
Жишээ: Өмнөх жишээний дагуу, хэрэв та үдийн хоолондоо сэндвич, ундаа хоёуланг нь сонгохоор шийдсэн бол хачиртай талхны \(3\) сонголт, ундааны \(2\) сонголт байгаа бөгөөд нийт \(3 \times 2 = 6\) ) болно. \(3 \times 2 = 6\) үдийн хоолны боломжит хослолууд.
Тоолох хэлбэрийг ойлгохыг практик туршилтаар сайжруулж болно. Хэдийгээр бид дадлага хийхийг шаарддаггүй ч энд нэг концепцийн туршилт байна:
Өнгөт бөмбөг агуулсан уутыг авч үзье: 2 улаан, 3 цэнхэр, 4 ногоон. Хэрэв бид цүнхнээс ямар ч өнгийн 2 бөмбөг сонгох хэд хэдэн аргыг мэдэхийг хүсвэл сонголтын дараалал хамаагүй тул хослолыг ашиглаж болно. Энэ нь хослолын үндсэн санааг өргөжүүлсэн давталт бүхий хослолын талаархи ойлголтыг шаарддаг.
Тоолох хэлбэр нь зөвхөн цэвэр математикийн хичээлээр хязгаарлагдахгүй. Тэд янз бүрийн салбарт програмуудыг олдог:
Дүгнэж хэлэхэд, тоолох хэлбэрүүд нь математикийн чухал хэрэглүүр бөгөөд системийг системтэйгээр тоолж, дүн шинжилгээ хийж, асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Энгийн тоолохоос эхлээд дэвшилтэт солих ба хослолууд хүртэл эдгээр ойлголтыг ойлгох нь янз бүрийн салбар дахь практик болон онолын асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг нээж өгдөг.
