गणित र यसको अनुप्रयोगहरूमा, गणना एक आधारभूत अवधारणा हो जसले हामीलाई वस्तुहरू, विचारहरू, र घटनाहरूलाई परिमाण गर्न मद्दत गर्दछ। यसले थप जटिल गणितीय कार्यहरू र समस्या समाधान गर्ने प्रविधिहरूको लागि आधारको रूपमा कार्य गर्दछ। यस पाठले गणना, क्रमपरिवर्तन, संयोजन, र गणनाका सिद्धान्तहरू सहित धेरै प्राथमिक गणना फारमहरू प्रस्तुत गर्नेछ। यी फारमहरू अन्वेषण गरेर, हामीले व्यवस्थित गणना विधिहरू र तिनीहरूका अनुप्रयोगहरूको विस्तृत बुझाइ विकास गर्ने लक्ष्य राख्छौं।
गणना भनेको गणनाको सबैभन्दा सरल रूप हो, जसमा वस्तु वा संस्थाहरूको प्रत्यक्ष गणना समावेश हुन्छ। यो व्यवस्थित रूपमा सेटमा तत्वहरू सूचीबद्ध गर्ने प्रक्रिया हो। यो विधि विशेष गरी साना सेटहरूको लागि उपयोगी छ जहाँ तत्वहरू सजिलै पहिचान गर्न सकिन्छ र कुनै पनि नछुटाई गणना गर्न सकिन्छ।
उदाहरण: तीनवटा फलहरू भएको सेटलाई विचार गर्नुहोस्: एउटा स्याउ, सुन्तला र केरा। गणनामा यी फलहरूलाई निम्न रूपमा सूचीबद्ध गरिएको छ: 1) स्याउ, 2) सुन्तला, 3) केरा। यसरी, हामी निष्कर्षमा पुग्छौं कि सेटमा तीनवटा फलहरू छन्।
क्रमपरिवर्तनले एक विशेष क्रममा वस्तुहरूको व्यवस्थालाई जनाउँछ। क्रमपरिवर्तनहरू गणना गर्दा, हामी वस्तुहरूको क्रमलाई महत्त्वपूर्ण मान्दछौं। एक पटकमा लिइएको \(n\) \(r\) वस्तुहरूको क्रमपरिवर्तनको सङ्ख्या गणना गर्ने सूत्र \(P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!}\) , जहाँ \(n!\) (n factorial) \(n\) सम्मका सबै सकारात्मक पूर्णाङ्कहरूको गुणन हो।
उदाहरण: यदि हामीसँग 3 अक्षरहरू छन्: A, B, र C, र हामी जान्न चाहन्छौं कि कतिवटा दुई-अक्षर अनुक्रमहरू गठन गर्न सकिन्छ, हामी सूत्र प्रयोग गर्छौं \(P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6\) । यसरी, अनुक्रमहरू AB, BA, AC, CA, BC, र CB हुन्।
संयोजनहरू क्रमपरिवर्तनसँग मिल्दोजुल्दो छन्, तर क्रमपरिवर्तनको विपरीत, वस्तुहरूको क्रम संयोजनहरूमा फरक पर्दैन। यो समूहबाट वस्तुहरू चयन गर्ने तरिका हो, जहाँ अर्डर अप्रासंगिक छ। एक पटकमा लिएको \(n\) \(r\) वस्तुहरूको संयोजनको सङ्ख्या गणना गर्ने सूत्र \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!}\) द्वारा दिइएको छ। \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!}\) ।
उदाहरण: 3 अक्षरहरूको हाम्रो अघिल्लो उदाहरणलाई जारी राख्दै: A, B, र C, यदि हामी क्रमलाई ध्यान नदिई हामीले 2 अक्षरहरू कतिवटा तरिकाले चयन गर्न सक्छौं भनेर जान्न चाहन्छौं भने, हामी सूत्र प्रयोग गर्छौं \(C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\) । चयनहरू AB, AC, र BC हुन्।
गणनाका सिद्धान्तहरूले दुई महत्त्वपूर्ण नियमहरू समावेश गर्दछ: थप नियम र गुणन नियम , जसले हामीलाई अनुमति दिन्छ।
व्यवस्थित रूपमा थप जटिल गणना समस्याहरू समाधान गर्न।
थप्ने नियमले बताउँछ कि यदि घटना A \(m\) तरिकामा हुन सक्छ र घटना B \(n\) तरिकामा हुन सक्छ, र दुई घटनाहरू एकैसाथ हुन सक्दैनन् भने त्यहाँ \(m + n\) तरिकाहरू छन्। घटना A वा घटना B हुन। यो सिद्धान्त प्रायः पारस्परिक अनन्य घटनाहरूमा परिणामहरूको संख्या गणना गर्दा लागू हुन्छ।
उदाहरण: यदि तपाइँसँग लंचको लागि 3 फरक स्यान्डविच र 2 फरक पेय बीचको छनोट छ, तर तपाइँ केवल एक स्यान्डविच वा पेय छनौट गर्नुहुन्छ, त्यसपछि त्यहाँ \(3 + 2 = 5\) सम्भावित खाजा विकल्पहरू छन्।
गुणन नियमले बताउँछ कि यदि घटना A \(m\) तरिकामा हुन सक्छ र यो भए पछि, घटना B \(n\) तरिकामा हुन सक्छ, त्यसपछि दुई घटनाहरूको अनुक्रम \(m \times n\) मा हुन सक्छ। \(m \times n\) तरिकाहरू। यो सिद्धान्त प्रयोग गरिन्छ जब एक घटनाको परिणामले अर्कोको परिणामलाई असर गर्छ।
उदाहरण: अघिल्लो उदाहरण पछ्याउँदै, यदि तपाईंले खाजाको लागि स्यान्डविच र पेय दुवै छनौट गर्ने निर्णय गर्नुभयो भने, त्यहाँ स्यान्डविचका लागि \(3\) विकल्पहरू र पेयहरूको लागि \(2\) विकल्पहरू छन्, कुल \(3 \times 2 = 6\) ) \(3 \times 2 = 6\) सम्भावित खाजा संयोजन।
गणना फारमहरू बुझ्न व्यावहारिक प्रयोगहरू मार्फत विस्तार गर्न सकिन्छ। यद्यपि हामी अभ्यासको लागि सोध्दैनौं, यहाँ एक अवधारणात्मक प्रयोग छ:
रंगीन बलहरू भएको झोलालाई विचार गर्नुहोस्: 2 रातो, 3 नीलो, र 4 हरियो। यदि हामी झोलाबाट कुनै पनि रङको 2 बलहरू छनौट गर्ने तरिकाहरूको संख्या जान्न चाहन्छौं भने, हामीले संयोजनहरू प्रयोग गर्न सक्छौं किनभने चयनको क्रमले फरक पार्दैन। यसका लागि पुनरावृत्तिसँग संयोजनहरूको बुझाइ आवश्यक पर्दछ, संयोजनहरूको आधारभूत विचार विस्तार गर्ने अवधारणा।
गणना फारमहरू शुद्ध गणितमा सीमित छैनन्। तिनीहरूले विभिन्न क्षेत्रहरूमा अनुप्रयोगहरू फेला पार्छन्:
निष्कर्षमा, गणना फारमहरू गणितमा आवश्यक उपकरणहरू हुन् जसले हामीलाई व्यवस्थित रूपमा मात्रा, विश्लेषण र समस्याहरू समाधान गर्न अनुमति दिन्छ। साधारण गणनादेखि उन्नत क्रमपरिवर्तन र संयोजनहरू सम्म, यी अवधारणाहरू बुझ्नाले विभिन्न विषयहरूमा व्यावहारिक र सैद्धान्तिक समस्याहरू समाधान गर्न सम्भावनाहरूको संसार खोल्छ।
