De mediaan is een type gemiddelde dat de middelste waarde in een gegevensset vertegenwoordigt wanneer deze in oplopende of aflopende volgorde is gerangschikt. In tegenstelling tot het gemiddelde, dat de som van alle waarden vereist, verdeelt de mediaan een dataset in twee gelijke helften. In de context van wiskunde en statistiek is het begrijpen van de mediaan cruciaal voor data-analyse, waardoor een reeks gegevens kan worden samengevat op basis van de centrale tendens ervan.
In de wiskunde is het concept van de mediaan eenvoudig. Als het aantal waarnemingen in een dataset oneven is, is de mediaan het middelste getal. Als het aantal waarnemingen echter even is, is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen. De wiskundige weergave van het vinden van de mediaan varieert afhankelijk van het feit of de dataset een oneven of even aantal waarnemingen heeft.
Voor een oneven aantal waarnemingen: Als een dataset \(n\) waarden heeft die in oplopende volgorde zijn gesorteerd en \(n\) oneven is, dan is de mediaan, \(M\) , de waarde op positie \(\frac{n+1}{2}\) .
Voor een even aantal waarnemingen: Als \(n\) even is, dan is de mediaan, \(M\) , het gemiddelde van de waarden op posities \(\frac{n}{2}\) en \(\frac{n}{2} + 1\) .
In de statistiek wordt de mediaan veel gebruikt als maatstaf voor de centrale tendens, vooral wanneer de gegevens scheef zijn of uitschieters bevatten, die het gemiddelde kunnen vertekenen. De mediaan biedt een nauwkeurigere weergave van het centrum van de dataset, waardoor deze van onschatbare waarde is bij gegevensanalysetaken in de echte wereld.
Een van de belangrijkste kenmerken van de mediaan is de robuustheid ervan tegen uitschieters, dit zijn extreme waarden die aanzienlijk verschillen van andere waarnemingen. Omdat de mediaan alleen de middelste waarde betreft, wordt deze niet beïnvloed door uitschieters. Dit kenmerk maakt de mediaan bijzonder nuttig op gebieden als onroerend goed, financiën en economie, waar een paar extreme waarden het gemiddelde kunnen vertekenen en daardoor misleidende informatie opleveren.
Voorbeeld 1: Beschouw de reeks getallen: 2, 3, 4, 5, 6. Omdat er vijf getallen zijn, een oneven aantal, is de mediaan eenvoudigweg het middelste getal, in dit geval 4.
Voorbeeld 2: Voor de dataset: 1, 2, 3, 4, 5, 6, met een even aantal waarnemingen, zou de mediaan het gemiddelde zijn van het derde en vierde getal: \(\frac{3 + 4}{2} = 3.5\) .
Een dataset manipuleren: Om het effect van uitschieters op de mediaan te begrijpen, overweeg een dataset: 100, 200, 300, 400, 500. De mediaan is 300. Als we twee extreme waarden, zoals 10.000 en 20.000, aan de dataset toevoegen, waardoor het uitkomt op: 100, 200, 300, 400, 500, 10.000, 20.000, verschuift de mediaan slechts naar het gemiddelde van 300 en 400, wat 350 is, wat de robuustheid van de mediaan aantoont ondanks uitschieters.
Mediaan versus gemiddelde: Om het verschil tussen de mediaan en het gemiddelde te begrijpen, moet u een dataset van gezinsinkomens in een kleine gemeenschap bekijken: 30.000, 35.000, 40.000, 45.000 en één uitbijter van 1.000.000. Het gemiddelde inkomen zou aanzienlijk hoger zijn vanwege de uitschieter, wat duidt op een hogere levensstandaard dan voor het grootste deel van de gemeenschap accuraat is. Het mediaaninkomen zou echter nauwkeurig de centrale tendens van het inkomen van de gemeenschap weergeven, onaangetast door de uitbijter.
De mediaan biedt een eenvoudige maar robuuste methode om de distributie en centrale tendens van een dataset te begrijpen. Door te focussen op de middelste waarde, in plaats van op de som van alle waarden, biedt de mediaan een waarheidsgetrouwe weerspiegeling van het centrale punt in zowel even als oneven datasets. De immuniteit voor de invloed van uitschieters maakt het tot een maatstaf die de voorkeur geniet op verschillende gebieden van de wiskunde en de statistiek, waardoor het belang van de mediaan bij de analyse en interpretatie van gegevens wordt versterkt.
