Mediana to typ średniej reprezentujący środkową wartość w zbiorze danych uporządkowanym rosnąco lub malejąco. W przeciwieństwie do średniej, która wymaga sumy wszystkich wartości, mediana dzieli zbiór danych na dwie równe połowy. W kontekście matematyki i statystyki zrozumienie mediany ma kluczowe znaczenie dla analizy danych, pomagając podsumować zbiór danych według ich centralnej tendencji.
W matematyce pojęcie mediany jest proste. Jeśli liczba obserwacji w zbiorze danych jest nieparzysta, medianą jest liczba środkowa. Jeśli jednak liczba obserwacji jest parzysta, mediana jest średnią dwóch środkowych liczb. Matematyczna reprezentacja znalezienia mediany różni się w zależności od tego, czy zbiór danych zawiera nieparzystą, czy parzystą liczbę obserwacji.
Dla nieparzystej liczby obserwacji: Jeśli zbiór danych ma \(n\) wartości posortowane w porządku rosnącym, a \(n\) jest nieparzysty, wówczas mediana \(M\) jest wartością na pozycji \(\frac{n+1}{2}\) .
Dla parzystej liczby obserwacji: Jeśli \(n\) jest parzyste, wówczas mediana \(M\) jest średnią wartości w pozycjach \(\frac{n}{2}\) i \(\frac{n}{2} + 1\) .
W statystyce mediana jest szeroko stosowana jako miara tendencji centralnej, szczególnie gdy dane są wypaczone lub zawierają wartości odstające, co może zniekształcić średnią. Mediana zapewnia dokładniejszą reprezentację centrum zbioru danych, dzięki czemu jest nieoceniona w zadaniach związanych z analizą danych w świecie rzeczywistym.
Jedną z kluczowych cech mediany jest jej odporność na wartości odstające, czyli wartości ekstremalne, które znacznie różnią się od innych obserwacji. Ponieważ mediana dotyczy tylko wartości środkowej, wartości odstające nie mają na nią wpływu. Ta cecha sprawia, że mediana jest szczególnie użyteczna w dziedzinach takich jak nieruchomości, finanse i ekonomia, gdzie kilka skrajnych wartości może zniekształcić średnią, dostarczając w ten sposób mylących informacji.
Przykład 1: Rozważmy zbiór liczb: 2, 3, 4, 5, 6. Ponieważ istnieje pięć liczb, liczba nieparzysta, mediana to po prostu liczba środkowa, czyli w tym przypadku 4.
Przykład 2: Dla zbioru danych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, przy parzystej liczbie obserwacji, medianą będzie średnia trzeciej i czwartej liczby: \(\frac{3 + 4}{2} = 3.5\) .
Manipulowanie zbiorem danych: Aby zrozumieć wpływ wartości odstających na medianę, rozważ zbiór danych: 100, 200, 300, 400, 500. Mediana wynosi 300. Jeśli dodamy do zbioru danych dwie skrajne wartości, takie jak 10 000 i 20 000, co daje: 100, 200, 300, 400, 500, 10 000, 20 000, mediana przesuwa się jedynie do średniej z 300 i 400, czyli 350, co pokazuje solidność mediany w obliczu wartości odstających.
Mediana a średnia: Aby zrozumieć różnicę między medianą a średnią, rozważ zbiór danych dotyczących dochodów gospodarstw domowych w małej społeczności: 30 000, 35 000, 40 000, 45 000 i jedną wartość odstającą wynoszącą 1 000 000. Średni dochód byłby znacznie wyższy ze względu na wartość odstającą, co sugeruje wyższy standard życia niż jest to dokładne dla większości społeczności. Jednakże średni dochód dokładnie odzwierciedlałby centralną tendencję dochodów społeczności, na którą nie miała wpływu wartość odstająca.
Mediana oferuje prostą, ale niezawodną metodę zrozumienia rozkładu i tendencji centralnej zbioru danych. Koncentrując się na wartości środkowej, a nie na sumie wszystkich wartości, mediana zapewnia prawdziwe odzwierciedlenie punktu centralnego zarówno w zbiorach danych o parzystej, jak i nieparzystej wielkości. Odporność na wpływ wartości odstających sprawia, że jest to miara preferowana w różnych dziedzinach matematyki i statystyki, co wzmacnia znaczenie mediany w analizie i interpretacji danych.
