Метрийн орон зай: үндсийг ойлгох
Метрийн орон зай нь математикийн үндсэн ойлголт, ялангуяа хэмжилт, хэмжилт, математик анализын чиглэлээр. Энэ нь зайг тодорхойлох, янз бүрийн математикийн бүтцийн геометрийн шинж чанарыг ойлгох хүрээг бүрдүүлдэг.
Метрийн орон зай гэж юу вэ?
Метрийн орон зай нь олонлогийн аль ч хоёр элементийн хоорондох зайг хэмждэг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг функцийн хамт олонлогоос бүрдэнэ. Энэ олонлогийг ихэвчлэн \(M\) , хэмжигдэхүүнийг \(d\) гэж тэмдэглэдэг. Албан ёсоор хэмжүүрийн орон зайг хос \((M, d)\) гэж тодорхойлж болох бөгөөд энд \(M\) нь олонлог, \(d\) нь \(M\) дээрх дараах шинж чанаруудыг хангасан хэмжигдэхүүн юм. бүгд \(x, y, z \in M\) :
- Сөрөг бус байдал : \(d(x, y) \geq 0\) , ба \(d(x, y) = 0\) зөвхөн \(x = y\) тохиолдолд л болно.
- Тэгш хэм : \(d(x, y) = d(y, x)\) .
- Гурвалжны тэгш бус байдал : \(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\) .
Метрийн орон зайн жишээ
Метрийн орон зайг жишээгээр ойлгох нь ойлголтыг тодруулахад тусална. Энд цөөн хэдэн зөн совингийн жишээ байна:
- Евклидийн орон зай : Хамгийн түгээмэл жишээ бол Евклидийн орон зай бөгөөд цэгүүд нь \(\mathbb{R}^n\) доторх векторууд бөгөөд \(x\) ба \(y\) хоёр цэгийн хоорондох зайг дараах байдлаар илэрхийлнэ. Евклидийн хэмжигдэхүүн \(d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}\) .
- Салангид хэмжүүрийн орон зай : Аливаа хоёр цэгийн хоорондох зай 1 ба тэг байх үед \(M\) олонлогийг авч үзье. Үүнийг \ \(x = y\) \(d(x, y) = 0\) , \ \(x \neq y\) y) бол \(d(x, y) = 1\) гэж тодорхойлсон дискрет хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. \(x \neq y\) .
- Таксины метрийн орон зай : Мөн Манхэттэний зай гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ хэмжигдэхүүн орон зайд хавтгайн \(x\) ба \(y\) хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийн декартын координатын үнэмлэхүй зөрүүний нийлбэр юм, \(d(x, y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|\) ) \(d(x, y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|\) .
Метрийн орон зайн ач холбогдол
Метрийн орон зай нь олон салбарт чухал ач холбогдолтой бөгөөд цэвэр математикаас гадна физик, компьютерийн шинжлэх ухаан, инженерчлэл хүртэл үргэлжилдэг. Эдгээр нь математик, физикийн янз бүрийн үзэгдлийн шинжилгээг хөнгөвчлөх, тасралтгүй байдал, нэгдэл, нягтралын талаар ярилцах албан ёсны арга замыг өгдөг.
Туршилтаар дамжуулан хэмжүүрийн орон зайг судлах
Метрийн орон зай нь хийсвэр боловч тэдгээрийг дүрслэл болон энгийн туршилтаар зөн совингоор ойлгож болно.
- Евклидийн орон зайг дүрслэн харуулахдаа 2 хэмжээст эсвэл 3 хэмжээст координатын системд цэгүүдийг зурж, захирагч ашиглан зайг хэмжиж, Евклидийн хэмжүүрийн бодит хэрэглээг харж болно.
- Дискрет хэмжигдэхүүнийг ойлгохын тулд нэг компьютер биш л бол аль ч хоёр компьютерийн хоорондох зай ижил байх компьютеруудын сүлжээг төсөөлж болно.
- Таксины хэмжигдэхүүнийг хотын сүлжээ шиг Нью-Йорк хотод хамгийн сайн дүрслэн харуулах бөгөөд энд хоёр цэгийн хоорондох зайг "хэрээ нисэх мэт" гэхээсээ ялгаатай нь сүлжээний шугамын дагуу хэмждэг.
Дүгнэлт
Метрийн орон зай нь орчин үеийн математикийн салшгүй хэсэг бөгөөд янз бүрийн нөхцөлд зай болон геометрийн шинж чанаруудыг хэлэлцэх албан ёсны арга замыг санал болгодог. Дискрет хэмжүүрийн энгийн байдлаас эхлээд Евклидийн болон Евклидийн бус орон зайн нарийн төвөгтэй байдал хүртэл метрийн орон зай нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг шинжлэх, загварчлах, ойлгоход баялаг хүрээг бүрдүүлдэг.
