عملیات ریاضی پایه و اساس درک حسابی و ریاضی را تشکیل می دهد. آنها شامل توابع اساسی مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم و همچنین عملیات پیچیده تری مانند توان و استخراج ریشه هستند. این درس به بررسی عملیات ریاضی اصلی و کاربرد آنها در زمینه های مختلف می پردازد.
جمع یکی از اساسی ترین عملیات در ریاضیات است. این شامل ترکیب دو یا چند عدد برای یافتن مجموع یا مجموع آنها است. نماد جمع \(+\) است.
مثال: اگر 2 سیب دارید و 3 سیب دیگر دریافت می کنید، در کل \(2 + 3 = 5\) سیب دارید.
یکی از ویژگی های مهم جمع، جابجایی است، به این معنی که تغییر ترتیب اعداد بر مجموع تأثیر نمی گذارد. یعنی \(a + b = b + a\) .
تفریق فرآیند حذف یک کمیت از مقدار دیگر است. این اساساً معکوس اضافه است. نماد تفریق \(-\) است.
مثال: اگر 5 سیب داشته باشید و 2 تا بخورید، \(5 - 2 = 3\) سیب باقی مانده است.
تفریق جابجایی نیست، به این معنی که \(a - b\) لزوماً با \(b - a\) یکسان نیست.
ضرب یک عملیات ریاضی است که جمع و مقیاس را ترکیب می کند. این شامل اضافه کردن یک عدد به خود تعداد معینی بار است. نماد ضرب \(×\) یا \(\cdot\) است.
مثال: اگر 3 کیسه از هر کدام 4 سیب داشته باشید، در مجموع \(3 \times 4 = 12\) سیب دارید.
ضرب جابجایی است، یعنی \(a \times b = b \times a\) .
تقسیم فرآیند توزیع یک مقدار به قطعات مساوی است. این عمل معکوس ضرب است. نماد تقسیم \(/\) یا \(÷\) است.
مثال: اگر 12 سیب دارید و آنها را در 4 گروه مساوی قرار دهید، هر گروه \(12 ÷ 4 = 3\) سیب دارد.
تقسیم بندی جایگزین نیست. علاوه بر این، تقسیم بر صفر تعریف نشده است.
توان یک عملیات ریاضی است که در آن یک عدد (مبنا) در خودش به تعداد معینی ضرب می شود (توان). نماد قدرت عبارت است از \(a^b\) که در آن \(a\) پایه است و \(b\) توان است.
مثال: \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) . در اینجا 2 پایه و 3 توان است.
قدرت جایگزینی نیست. برای مثال، \(2^3\) با \(3^2\) یکسان نیست.
استخراج ریشه شامل یافتن عددی است که وقتی به یک توان معین (ریشه) افزایش می یابد، عدد اصلی را می دهد. رایج ترین ریشه، جذر ( \(\sqrt{\ }\) ) است که می پرسد چه عددی، ضرب در خودش، برابر عدد داده شده است.
مثال: \(\sqrt{9} = 3\) زیرا \(3 \times 3 = 9\) .
ریشه های بالاتر ، مانند ریشه مکعب ( \(\sqrt[3]{\ }\) ) به طور مشابه کار می کنند. به عنوان مثال، \(\sqrt[3]{8} = 2\) ، زیرا \(2 \times 2 \times 2 = 8\) .
ترتیب عملیات ها قاعده ای است که برای روشن شدن این که کدام رویه ها باید ابتدا در یک عبارت ریاضی انجام شوند استفاده می شود. ترتیب پذیرفته شده به طور گسترده پرانتز، توان، ضرب و تقسیم (از چپ به راست) و جمع و تفریق (از چپ به راست) است که اغلب به اختصار PEMDAS نامیده می شود.
مثال: برای عبارت \(2 + 3 \times 4^2\) , ابتدا توان را ارزیابی کنید ( \(4^2 = 16\) ) سپس ضرب را انجام دهید ( \(3 \times 16 = 48\) ) ، و در نهایت جمع ( \(2 + 48 = 50\) ).
کسری ها بخش هایی از یک کل را نشان می دهند. آنها از یک صورت (عدد بالا) و یک مخرج (عدد پایین) با نماد تقسیم در بین آنها تشکیل شده اند. کسرها می توانند تمام عملیات ذکر شده در بالا را با برخی قوانین اضافی انجام دهند، به خصوص برای جمع و تفریق که در آن به مخرج مشترک نیاز دارید.
مثال: اضافه کردن \(1/4 + 1/2\) ابتدا مستلزم تبدیل \(1/2\) به \(2/4\) (یک مخرج مشترک با \(1/4\) ) است که در نتیجه \(1/4 + 2/4 = 3/4\) .
اعشار روش دیگری برای نشان دادن کسرها با استفاده از نقطه اعشار است. عملیات روی اعشار از همان دستورالعمل‌هایی پیروی می‌کند که بر روی اعداد کامل، با تراز دقیق اعشار، به ویژه در جمع و تفریق.
مثال: \(0.75 + 0.25 = 1.00\) . این نشان می دهد که دو اعشار برای بدست آوردن یک عدد کامل جمع می شود.
درصدها کسری از 100 را نشان می دهند و با علامت درصد (%) نشان داده می شوند. آنها ارتباط نزدیکی با اعشار و کسری دارند و می توانند بین این اشکال تبدیل شوند.
مثال: \(50\%\) از 100 \(50/100 = 0.5 \times 100 = 50\) است.
اعداد منفی اعدادی کوچکتر از صفر هستند و قبل از عدد با علامت منفی (-) نشان داده می شوند. عملیاتی که شامل اعداد منفی است از قوانین خاصی پیروی می کند، به ویژه در ضرب و تقسیم که در آن دو منفی مثبت می شوند.
مثال: \(-2 \times -3 = 6\) . از ضرب دو عدد منفی یک عدد مثبت به دست می آید.
عملیات ریاضی اجزای سازنده مطالعات ریاضی و حسابی پیچیده تر هستند. درک و تسلط بر این عملیات برای حل مسائل مختلف ریاضی بسیار مهم است. هر عملیات دارای ویژگی ها، قوانین و کاربردهای خاص خود است که با ترکیب آنها می توان مسائل و وظایف پیچیده در ریاضیات و زمینه های مرتبط را حل کرد.
