Riyaziyyatda kök anlayışı əsasdır və cəbr, hesablama və hətta mürəkkəb ədədlər kimi müxtəlif sahələrdə görünür. Funksiyanın kökü funksiyanın çıxışının sıfır olduğu bir girişdir (və ya arqument). Daha sadə dillə desək, bu, tənliyə daxil edildikdə tənliyi doğru edən dəyərdir. Bu dərs çoxhədli funksiyalara, kvadrat köklərə, kub köklərə və n-ci köklərin ümumi ideyasına xüsusi diqqət yetirməklə kök anlayışını araşdıracaq.
Çoxhədlinin kökü çoxhədli sıfıra bərabər qoyulduqda yaranan tənliyin həllidir. Məsələn, \(x^2 - 4 = 0\) çoxhədli tənliyi üçün köklər tənliyi doğru edən \(x\) qiymətləridir. Bu halda köklər \(x = 2\) və \(x = -2\) olur, çünki tənlikdə bu dəyərlərdən hər hansı birini \(x\) yerinə qoymaq onu doğru edir ( \(2^2 - 4 = 0\) və \((-2)^2 - 4 = 0\) ).
Köklər həqiqi və ya mürəkkəb ola bilər. Həqiqi köklər həqiqi ədədlər xəttində tapıla bilən köklərdir, mürəkkəb köklər isə xəyali ədədləri əhatə edir və həqiqi ədədlər xəttində tapıla bilməz. Mürəkkəb köklər çox vaxt \(3 + 2i\) və \(3 - 2i\) kimi bir-birinin mürəkkəb birləşmələri olan cüt-cüt olur.
\(x\) ədədinin kvadrat kökü \(y\) ədəddir ki, \(y^2 = x\) . Kvadrat kök \(\sqrt{x}\) simvolu ilə təmsil olunur. Məsələn, 9-un kvadrat kökü 3-dür, çünki \(3^2 = 9\) . Hər bir müsbət həqiqi ədədin iki kvadrat kökü var: biri müsbət və biri mənfi. Bununla belə, konvensiyaya əsasən, "kvadrat kök" termini adətən müsbət kökə aiddir. 0-ın kvadrat kökü 0-dır və mənfi ədədlərin həqiqi kvadrat kökləri yoxdur, çünki heç bir həqiqi ədədin kvadratı mənfi nəticə vermir.
\(x\) ədədinin kub kökü \(y\) ədədidir ki, \(y^3 = x\) . \(\sqrt[3]{x}\) simvolu ilə təmsil olunur. Kvadrat köklərdən fərqli olaraq, hər bir həqiqi ədədin tam olaraq bir real kub kökü var. Məsələn, 8-in kub kökü 2-dir, çünki \(2^3 = 8\) , -8-in kub kökü isə -2-dir, çünki \((-2)^3 = -8\) .
\(x\) ədədinin n-ci kökü \(y\) ədədidir ki, \(y^n = x\) , burada \(n\) 1-dən böyük müsbət tam ədəddir. O, ilə təmsil olunur. simvol \(\sqrt[n]{x}\) . \(n\) cüt dəyəri üçün \(x\) müsbət ədədinin iki n-ci kökü var: biri müsbət və biri mənfi. Məsələn, \(\sqrt[4]{16} = 2\) və \(\sqrt[4]{16} = -2\) , çünki \(2^4 = 16\) və \((-2)^4 = 16\) . Lakin, əgər \(x\) mənfi və \(n\) cütdürsə, həqiqi n-ci kök yoxdur. Əgər \(n\) təkdirsə, müsbət və ya mənfi hər hansı \(x\) həqiqi ədədi üçün tam olaraq bir həqiqi n-ci kök var.
Çoxhədli tənliyin ən yüksək dərəcəsinin göstərdiyi qədər kök ola bilər. Məsələn, 2-ci dərəcəli çoxhədli tənlik olan kvadrat tənliyin 2-ə qədər həqiqi kökü ola bilər. \(ax^2 + bx + c = 0\) tənliyi, burada \(a\) , \(b\) və \(c\) sabitlər və \(a \neq 0\) səciyyəvidir. kvadrat tənliyə misal. \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) kvadrat düsturundan istifadə etməklə onun köklərini tapa bilərik.
Eynilə, 3 dərəcə çoxhədli olan kub tənliyinin 3-ə qədər həqiqi kökü ola bilər. Kub tənliyinin ümumi forması \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) , burada \(a\) , \(b\) , \(c\) və \(d\) sabitlərdir və \(a \neq 0\) . Kub tənliklərinin köklərini tapmaq üçün Kardano metodu kimi kvadrat tənliklərlə müqayisədə daha mürəkkəb üsullar tələb oluna bilər.
Kökləri tapmaq üçün başqa bir üsul, xüsusən də çoxhədli tənliklər üçün faktorizasiyadır. Bu, polinomun onun amillərinin məhsulu kimi ifadəsini əhatə edir. Əgər \(P(x)\) \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) kimi faktorlara ayırmaq olarsa, onda \(r_1\) , \(r_2\) , …, \(r_n\) çoxhədlinin kökləridir. Məsələn, \(x^2 - 4\) polinomunu kökləri kimi \((x - 2)(x + 2)\) göstərən \(2\) (x \(-2\) kimi faktorlara ayırmaq olar.
Funksiyaların kökləri də qrafiklərdən istifadə edərək vizual olaraq müəyyən edilə bilər. Funksiya qrafikinin x oxunu kəsdiyi nöqtənin x koordinatı funksiyanın kökünə uyğundur. Bu qrafik yanaşma köklərin paylanmasını və funksiyaların davranışını anlamaq üçün faydalı ola bilər, baxmayaraq ki, o, həmişə dəqiq kök dəyərləri təmin etmir.
Köklər riyaziyyatın müxtəlif sahələrində və onun tətbiqlərində mühüm rol oynayır. Cəbrdə bunlar mühəndislik, fizika və iqtisadiyyat kimi sahələrdə əsas olan çoxhədli tənlikləri həll etmək üçün istifadə olunur. Hesablamada funksiyaların köklərini tapmaq optimallaşdırma problemləri üçün kritik nöqtələri müəyyən etməyə kömək edə bilər. Bundan əlavə, polinomların kompleks kökləri kompleks analizdə vacibdir və elektrik dövrələrinin, dalğaların yayılmasının və kvant mexanikasının öyrənilməsində həlledici rol oynayır.
Kvadrat köklər, kub kökləri və n-ci köklər də daxil olmaqla köklər anlayışını başa düşmək riyaziyyatda və onun tətbiqi sahələrində tənliklərin və analitik məsələlərin həlli üçün vacibdir. İstər çoxhədli tənliyin həllinin müəyyən edilməsi, istərsə də funksiyaların davranışının təhlili olsun, köklər riyazi kəşfiyyat və kəşflər üçün kritik bir vasitədir.
