U matematici je koncept korijena temeljan i pojavljuje se u različitim područjima kao što su algebra, račun, pa čak i kompleksni brojevi. Korijen funkcije je ulaz (ili argument) za koji je izlaz funkcije nula. Jednostavnije rečeno, to je vrijednost koja, kada se umetne u jednadžbu, čini jednadžbu istinitom. Ova lekcija će istražiti koncept korijena, posebno se fokusirajući na polinomske funkcije, kvadratne korijene, kubne korijene i opću ideju n-tog korijena.
Korijen polinoma je rješenje jednadžbe koja nastaje kada se polinom postavi na nulu. Na primjer, za polinomsku jednadžbu \(x^2 - 4 = 0\) , korijeni su vrijednosti \(x\) koje čine jednadžbu istinitom. U ovom slučaju, korijeni su \(x = 2\) i \(x = -2\) , jer zamjena bilo koje od ovih vrijednosti za \(x\) u jednadžbi čini točnim ( \(2^2 - 4 = 0\) i \((-2)^2 - 4 = 0\) ).
Korijeni mogu biti pravi ili složeni. Pravi korijeni su oni koji se mogu naći na pravoj brojevnoj liniji, dok kompleksni korijeni uključuju imaginarne brojeve i ne mogu se pronaći na pravoj brojevnoj liniji. Složeni korijeni često dolaze u parovima koji su međusobno složeni konjugati, kao što su \(3 + 2i\) i \(3 - 2i\) .
Kvadratni korijen broja \(x\) je broj \(y\) takav da je \(y^2 = x\) . Kvadratni korijen je predstavljen simbolom \(\sqrt{x}\) . Na primjer, kvadratni korijen iz 9 je 3, jer \(3^2 = 9\) . Svaki pozitivni realni broj ima dva kvadratna korijena: jedan pozitivan i jedan negativan. Međutim, po dogovoru, izraz "kvadratni korijen" obično se odnosi na pozitivan korijen. Kvadratni korijen od 0 je 0, a negativni brojevi nemaju prave kvadratne korijene jer nijedan realni broj na kvadrat ne daje negativan rezultat.
Kubni korijen broja \(x\) je broj \(y\) takav da je \(y^3 = x\) . Predstavljen je simbolom \(\sqrt[3]{x}\) . Za razliku od kvadratnih korijena, svaki realni broj ima točno jedan pravi kubni korijen. Na primjer, kubni korijen od 8 je 2, jer \(2^3 = 8\) , a kubni korijen od -8 je -2, jer je \((-2)^3 = -8\) .
N-ti korijen broja \(x\) je broj \(y\) takav da je \(y^n = x\) , gdje je \(n\) pozitivan cijeli broj veći od 1. Predstavljen je simbol \(\sqrt[n]{x}\) . Za parnu vrijednost \(n\) , pozitivan broj \(x\) ima dva n-ti korijena: jedan pozitivan i jedan negativan. Na primjer, \(\sqrt[4]{16} = 2\) i \(\sqrt[4]{16} = -2\) , jer \(2^4 = 16\) i \((-2)^4 = 16\) . Međutim, ako je \(x\) negativan, a \(n\) paran, ne postoje stvarni n-ti korijeni. Ako je \(n\) neparan, postoji točno jedan realan n-ti korijen za bilo koji realni broj \(x\) , pozitivan ili negativan.
Polinomska jednadžba može imati onoliko korijena koliko pokazuje njen najviši stupanj. Na primjer, kvadratna jednadžba, koja je polinomska jednadžba stupnja 2, može imati do 2 realna korijena. Jednadžba \(ax^2 + bx + c = 0\) , gdje su \(a\) , \(b\) i \(c\) konstante, a \(a \neq 0\) , je tipična primjer kvadratne jednadžbe. Korištenjem kvadratne formule, \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , možemo pronaći njegove korijene.
Slično, kubna jednadžba, koja je polinom trećeg stupnja, može imati do 3 stvarna korijena. Opći oblik kubne jednadžbe je \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) , gdje \(a\) , \(b\) , \(c\) i \(d\) su konstante i \(a \neq 0\) . Pronalaženje korijena kubičnih jednadžbi može zahtijevati složenije metode u usporedbi s kvadratnim jednadžbama, poput Cardanove metode.
Druga metoda pronalaženja korijena, posebno za polinomske jednadžbe, je faktorizacija. To uključuje izražavanje polinoma kao produkta njegovih faktora. Ako se polinom \(P(x)\) može faktorizirati kao \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) , tada \(r_1\) , \(r_2\) , …, \(r_n\) su korijeni polinoma. Na primjer, polinom \(x^2 - 4\) može se faktorizirati kao \((x - 2)(x + 2)\) , pokazujući \(2\) i \(-2\) kao njegove korijene.
Korijeni funkcija također se mogu vizualno odrediti pomoću grafova. X-koordinata točke u kojoj graf funkcije siječe x-os odgovara korijenu funkcije. Ovaj grafički pristup može biti koristan za razumijevanje distribucije korijena i ponašanja funkcija, iako ne mora uvijek dati točne vrijednosti korijena.
Korijeni igraju značajnu ulogu u raznim područjima matematike i njezinih primjena. U algebri se koriste za rješavanje polinomskih jednadžbi, što je temeljno u područjima kao što su inženjerstvo, fizika i ekonomija. U računu, pronalaženje korijena funkcija može pomoći u određivanju kritičnih točaka za probleme optimizacije. Štoviše, složeni korijeni polinoma ključni su u složenoj analizi i igraju ključnu ulogu u proučavanju električnih krugova, širenja valova i kvantne mehanike.
Razumijevanje koncepta korijena, uključujući kvadratne korijene, kubne korijene i n-korijene, bitno je za rješavanje jednadžbi i analitičkih problema u matematici i njezinim primijenjenim poljima. Bilo da se radi o identificiranju rješenja polinomske jednadžbe ili analizi ponašanja funkcija, korijeni pružaju kritičan alat za matematičko istraživanje i otkriće.
