Математикийн хувьд язгуурын тухай ойлголт нь үндсэн ойлголт бөгөөд алгебр, тооцоо, бүр нийлмэл тоо зэрэг өөр өөр салбарт илэрдэг. Функцийн гаралт нь тэг байх оролт (эсвэл аргумент) нь функцийн үндэс юм. Энгийнээр хэлбэл, энэ нь тэгшитгэлд оруулах үед тэгшитгэлийг үнэн болгодог утга юм. Энэ хичээл нь олон гишүүнт функц, квадрат язгуур, шоо язгуур, n-р язгуурын ерөнхий санаа зэрэгт онцгойлон анхаарч, язгуурын тухай ойлголтыг судлах болно.
Олон гишүүнтийг тэгтэй тэнцүүлэх үед үүссэн тэгшитгэлийн шийдийг олон гишүүнтийн үндэс гэнэ. Жишээлбэл, \(x^2 - 4 = 0\) олон гишүүнт тэгшитгэлийн хувьд үндэс нь тэгшитгэлийг үнэн болгох \(x\) утгууд юм. Энэ тохиолдолд язгуурууд нь \(x = 2\) ба \(x = -2\) байна, учир нь тэгшитгэл дэх \(x\) д эдгээр утгын аль нэгийг орлуулах нь үнэн болно ( \(2^2 - 4 = 0\) ба \((-2)^2 - 4 = 0\) ).
Үндэс нь жинхэнэ эсвэл нарийн төвөгтэй байж болно. Бодит язгуурууд нь бодит тооны шулуун дээр олддог, харин нийлмэл язгуурууд нь төсөөллийн тоог агуулдаг бөгөөд бодит тооны шулуун дээр олдохгүй байдаг. Цогцолбор үндэс нь ихэвчлэн \(3 + 2i\) ба \(3 - 2i\) гэх мэт бие биенийхээ нийлмэл нийлмэл хосоор ирдэг.
\(x\) тооны квадрат язгуур нь \(y\) тоо бөгөөд \(y^2 = x\) . Квадрат язгуурыг \(\sqrt{x}\) тэмдгээр илэрхийлнэ. Жишээлбэл, 9-ийн квадрат язгуур нь 3, учир нь \(3^2 = 9\) . Эерэг бодит тоо бүр хоёр квадрат язгууртай: нэг эерэг, нэг сөрөг. Гэсэн хэдий ч уламжлалт ёсоор "квадрат язгуур" гэсэн нэр томъёо нь эерэг язгуурыг хэлдэг. 0-ийн квадрат язгуур нь 0 бөгөөд сөрөг тоонууд нь бодит квадрат язгууртай байдаггүй, учир нь бодит тоо нь сөрөг үр дүн өгдөггүй.
\(x\) тооны шоо язгуур нь \(y\) тоо бөгөөд \(y^3 = x\) . Үүнийг \(\sqrt[3]{x}\) тэмдгээр илэрхийлнэ. Квадрат язгуураас ялгаатай нь бодит тоо бүр яг нэг бодит шоо язгууртай байдаг. Жишээлбэл, 8-ын шоо язгуур нь 2, учир нь \(2^3 = 8\) , -8-ийн шоо үндэс нь -2, учир нь \((-2)^3 = -8\) .
\(x\) тооны n-р үндэс нь \(y\) тоо бөгөөд \(y^n = x\) , энд \(n\) нь 1-ээс их эерэг бүхэл тоо юм. Үүнийг дараах байдлаар илэрхийлнэ. тэмдэг \(\sqrt[n]{x}\) . \(n\) тэгш утгын хувьд \(x\) эерэг тоо нь нэг эерэг, нэг сөрөг гэсэн хоёр n-р үндэстэй байна. Жишээлбэл, \(\sqrt[4]{16} = 2\) ба \(\sqrt[4]{16} = -2\) , учир нь \(2^4 = 16\) болон \((-2)^4 = 16\) . Харин \(x\) сөрөг ба \(n\) тэгш байвал жинхэнэ n-р үндэс байхгүй болно. Хэрэв \(n\) сондгой бол эерэг эсвэл сөрөг аль ч бодит тоо \(x\) -д яг нэг бодит n-р язгуур байна.
Олон гишүүнт тэгшитгэл нь түүний хамгийн дээд зэрэгтэй тэнцүү олон үндэстэй байж болно. Жишээлбэл, 2-р зэргийн олон гишүүнт тэгшитгэл болох квадрат тэгшитгэл нь 2 хүртэлх бодит үндэстэй байж болно. \(ax^2 + bx + c = 0\) тэгшитгэл нь \(a\) , \(b\) болон \(c\) нь тогтмол ба \(a \neq 0\) нь ердийн юм. квадрат тэгшитгэлийн жишээ. \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) квадрат томъёог ашигласнаар бид түүний үндсийг олж чадна.
Үүний нэгэн адил 3-р зэргийн олон гишүүнт куб тэгшитгэл нь 3 хүртэлх бодит үндэстэй байж болно. Куб тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) бөгөөд \(a\) , \(b\) , \(c\) ба \(d\) нь тогтмол ба \(a \neq 0\) . Куб тэгшитгэлийн үндсийг олоход Карданогийн арга гэх мэт квадрат тэгшитгэлтэй харьцуулахад илүү төвөгтэй аргууд шаардлагатай байж болно.
Үндэс олох өөр нэг арга, ялангуяа олон гишүүнт тэгшитгэлийн хувьд үржүүлэх арга юм. Үүнд олон гишүүнтийг түүний хүчин зүйлсийн үржвэр болгон илэрхийлэхийг хэлнэ. Хэрэв \(P(x)\) олон гишүүнтийг \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) гэж ялгаж чадвал \(r_1\) , \(r_2\) , …, \(r_n\) нь олон гишүүнтийн үндэс юм. Жишээлбэл, \(x^2 - 4\) олон гишүүнтийг \((x - 2)(x + 2)\) гэж ялгаж, \(2\) ба \(-2\) г үндэс болгон зааж өгч болно.
Функцийн үндсийг график ашиглан нүдээр тодорхойлж болно. Функцийн график х тэнхлэгийг огтолж буй цэгийн х координат нь функцийн үндэстэй тохирч байна. Энэхүү график арга нь язгуурын тархалт болон функцүүдийн зан төлөвийг ойлгоход тустай байж болох ч энэ нь үргэлж зөв язгуур утгыг өгдөггүй.
Үндэс нь математикийн янз бүрийн салбарт болон түүний хэрэглээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Алгебрийн хувьд тэдгээрийг инженерчлэл, физик, эдийн засаг гэх мэт салбаруудад үндэслэсэн олон гишүүнт тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Тооцооллын хувьд функцүүдийн үндсийг олох нь оновчлолын асуудлын чухал цэгүүдийг тодорхойлоход тусална. Түүнчлэн олон гишүүнтийн нийлмэл язгуурууд нь нарийн төвөгтэй шинжилгээнд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд цахилгаан хэлхээ, долгионы тархалт, квант механикийг судлахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Квадрат язгуур, шоо язгуур, n-р үндэс зэрэг язгуурын тухай ойлголтыг ойлгох нь математик болон түүний хэрэглээний талбарт тэгшитгэл, аналитик бодлогыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай. Олон гишүүнт тэгшитгэлийн шийдлийг тодорхойлох эсвэл функцүүдийн үйл ажиллагаанд дүн шинжилгээ хийх эсэхээс үл хамааран үндэс нь математикийн судалгаа, нээлт хийхэд чухал хэрэгсэл болдог.
