သင်္ချာတွင်၊ အမြစ်၏ သဘောတရားသည် အခြေခံဖြစ်ပြီး အက္ခရာသင်္ချာ၊ ကုလနှင့် ရှုပ်ထွေးသော ကိန်းဂဏာန်းများကဲ့သို့သော နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် ပေါ်လာသည်။ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ အမြစ်သည် လုပ်ဆောင်ချက်၏ အထွက် သုညဖြစ်ပြီး အဝင်အထွက် (သို့မဟုတ်) အငြင်းအခုံတစ်ခုဖြစ်သည်။ အရှင်းဆုံးပြောရရင်၊ ညီမျှခြင်းတစ်ခုထဲကို ထည့်လိုက်တာနဲ့ ညီမျှခြင်းကို အမှန်ဖြစ်စေတဲ့ တန်ဖိုးပါပဲ။ ဤသင်ခန်းစာသည် polynomial functions၊ square roots၊ cube roots နှင့် nth roots တို့၏ ယေဘူယျအယူအဆအပေါ် အထူးအာရုံစိုက်ကာ အမြစ်၏သဘောတရားကို လေ့လာပါမည်။
ကိန်းဂဏန်းတစ်ခု၏ အမြစ်သည် ကိန်းဂဏန်းအား သုညနှင့် ညီသည်ဟု သတ်မှတ်သောအခါ ပေါ်ပေါက်လာသော ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ အများကိန်းညီမျှခြင်းအတွက် \(x^2 - 4 = 0\) ၊ အမြစ်များသည် ညီမျှခြင်းအမှန်ဖြစ်စေသည့် \(x\) ၏တန်ဖိုးများဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင်၊ အရင်းများသည် \(x = 2\) နှင့် \(x = -2\) ဖြစ်သည်၊ အကြောင်းမှာ ညီမျှခြင်းတွင် ဤတန်ဖိုးများကို \(x\) နှင့် အစားထိုးခြင်းကြောင့် ( \(2^2 - 4 = 0\) နှင့် \((-2)^2 - 4 = 0\) )။
အမြစ်များသည် အစစ်အမှန် သို့မဟုတ် ရှုပ်ထွေးနိုင်သည်။ Real roots များသည် real number line တွင်ရှာတွေ့နိုင်သော်လည်း၊ ရှုပ်ထွေးသော root များသည် စိတ်ကူးယဉ်ဂဏန်းများပါ၀င်ပြီး real number line တွင်မတွေ့နိုင်ပါ။ ရှုပ်ထွေးသောအမြစ်များသည် \(3 + 2i\) နှင့် \(3 - 2i\) ကဲ့သို့သော တစ်ခုနှင့်တစ်ခု၏ ရှုပ်ထွေးသောတွဲဆက်များဖြစ်သည့် အတွဲများဖြင့် လာလေ့ရှိသည်။
ဂဏန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် \(x\) သည် \(y\) ဖြစ်သည့် \(y^2 = x\) ဖြစ်သည်။ နှစ်ထပ်ကိန်းကို သင်္ကေတ \(\sqrt{x}\) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။ ဥပမာ၊ 9 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် 3 ဖြစ်သောကြောင့် \(3^2 = 9\) ။ အပေါင်းအစစ်အမှန်ကိန်းတိုင်းတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းအရင်းများ ရှိသည်- တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အနုတ်လက္ခဏာရှိသည်။ သို့သော်လည်း စည်းဝေးကြီးအရ၊ "square root" ဟူသော ဝေါဟာရသည် အများအားဖြင့် အပြုသဘောဆောင်သော အမြစ်ကို ရည်ညွှန်းသည်။ 0 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းမြစ်သည် 0 ဖြစ်ပြီး၊ အနုတ်ကိန်းများသည် အစစ်အမှန်နှစ်ထပ်ကိန်းများမရှိသောကြောင့် အနုတ်ကိန်းများသည် အစစ်အမှန်နှစ်ထပ်ကိန်းများမရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
ဂဏန်းတစ်ခု၏ cube root သည် \(y\) \(x\) သည့် \(y^3 = x\) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို \(\sqrt[3]{x}\) သင်္ကေတဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။ စတုရန်းအမြစ်များနှင့်မတူဘဲ၊ ကိန်းဂဏန်းတစ်ခုစီတွင် အစစ်အမှန် cube root တစ်ခု အတိအကျရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ 8 ၏ cube root သည် 2 ဖြစ်ပြီး \(2^3 = 8\) ဖြစ်သောကြောင့်၊ နှင့် -8 ၏ cube root သည် -2 ဖြစ်သောကြောင့် \((-2)^3 = -8\) ။
ဂဏန်းတစ်ခု၏ nth root သည် \(y\) \(x\) ဖြစ်သည့် \(y^n = x\) ဖြစ်ပြီး၊ \(n\) သည် 1 ထက် ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။ သင်္ကေတ \(\sqrt[n]{x}\) ။ \(n\) ၏ တူညီသောတန်ဖိုးအတွက်၊ အပြုသဘောနံပါတ် \(x\) တွင် nth root နှစ်ခုရှိသည်- တစ်ခုနှင့် တစ်ခု အနှုတ်ရှိသည်။ ဥပမာ၊ \(\sqrt[4]{16} = 2\) နှင့် \(\sqrt[4]{16} = -2\) ဖြစ်သောကြောင့် \(2^4 = 16\) နှင့် \((-2)^4 = 16\) ။ သို့သော်၊ \(x\) သည် အနုတ်ဖြစ်ပြီး \(n\) သည် တူညီပါက၊ အမှန်တကယ် nth root မရှိပါ။ \(n\) သည် ထူးဆန်းပါက၊ ကိန်းစစ်တစ်ခုခုအတွက် အစစ်အမှန် nth root တစ်ခု အတိအကျ ရှိပါသည် \(x\) ၊ positive သို့မဟုတ် negative ဖြစ်သည်။
ကိန်းဂဏန်းညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် ၎င်း၏အမြင့်ဆုံးဒီဂရီညွှန်ပြသည့်အတိုင်း အရင်းများစွာရှိနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ ဒီဂရီ 2 ၏ polynomial equation တစ်ခုဖြစ်သည့် လေးထောင့်ညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် မှန်ကန်သောအမြစ် 2 ခုအထိရှိနိုင်သည်။ ညီမျှခြင်း \(ax^2 + bx + c = 0\) ရှိရာ \(a\) ၊ \(b\) နှင့် \(c\) ကိန်းသေများဖြစ်ပြီး \(a \neq 0\) ပုံမှန်ဖြစ်သည် လေးထောင့်ညီမျှခြင်း၏ ဥပမာ။ လေးထောင့်ပုံဖော်မြူလာကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့်၊ \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) ၊ ၎င်း၏ အမြစ်များကို ကျွန်ုပ်တို့ ရှာတွေ့နိုင်ပါသည်။
အလားတူ၊ ဒီဂရီ 3 ၏ polynomial တစ်ခုဖြစ်သည့် ကုဗညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် အစစ်အမှန်အမြစ် 3 ခုအထိ ရှိနိုင်သည်။ ကုဗညီမျှခြင်း၏ ယေဘူယျပုံစံမှာ \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) ဖြစ်ပြီး၊ \(a\) ၊ \(b\) ၊ \(c\) နှင့် \(d\) တို့သည် ကိန်းသေများနှင့် \(a \neq 0\) ဖြစ်သည်။ ကုဗညီမျှခြင်းများ၏ အမြစ်များကို ရှာဖွေခြင်းသည် Cardano ၏နည်းလမ်းကဲ့သို့ လေးထောင့်ညီမျှခြင်းများနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက ပိုမိုရှုပ်ထွေးသောနည်းလမ်းများ လိုအပ်ပါသည်။
အထူးသဖြင့် ကိန်းဂဏန်းများ ညီမျှခြင်းများအတွက် အမြစ်များကို ရှာဖွေရန် အခြားနည်းလမ်းမှာ ကိန်းစုခွဲခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် ကိန်းဂဏန်းများကို ၎င်း၏ အကြောင်းရင်းများ၏ ထုတ်ကုန်တစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြခြင်း ပါဝင်သည်။ အများကိန်းကို \(P(x)\) အဖြစ် ပိုင်းခြားနိုင်လျှင် \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) ၊ ထို့နောက် \(r_1\) ၊ \(r_2\) , …, \(r_n\) များသည် အများကိန်း၏ အမြစ်များဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ polynomial \(x^2 - 4\) \((x - 2)(x + 2)\) အဖြစ် ပိုင်းခြားနိုင်ပြီး \(2\) နှင့် \(-2\) ၎င်း၏ အရင်းမြစ်အဖြစ် ညွှန်ပြနိုင်သည်။
လုပ်ဆောင်ချက်များ၏ အမြစ်များကို ဂရပ်များဖြင့် အမြင်ဖြင့် ဆုံးဖြတ်နိုင်သည်။ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ဂရပ်သည် x-ဝင်ရိုးကိုဖြတ်သွားသည့်အချက်၏ x-coordinate သည် function ၏ root နှင့် ကိုက်ညီသည်။ ဤဂရပ်ဖစ်ချဉ်းကပ်နည်းသည် အမြစ်များခွဲဝေမှုနှင့် လုပ်ဆောင်ချက်များကို နားလည်ရန်အတွက် အသုံးဝင်နိုင်သော်လည်း၊ ၎င်းသည် အမြဲတမ်းအမြစ်တန်ဖိုးများကို အတိအကျမဖော်ပြနိုင်သော်လည်း၊
Roots သည် သင်္ချာနှင့် ၎င်း၏အသုံးချမှုနယ်ပယ်အသီးသီးတွင် အရေးပါသောအခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ပါသည်။ အက္ခရာသင်္ချာတွင်၊ ၎င်းတို့ကို အင်ဂျင်နီယာ၊ ရူပဗေဒနှင့် ဘောဂဗေဒစသည့် နယ်ပယ်များတွင် အခြေခံဖြစ်သည့် ပေါလီအမည်ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရန် အသုံးပြုသည်။ calculus တွင်၊ လုပ်ဆောင်ချက်များ၏ အမြစ်များကို ရှာဖွေခြင်းသည် အကောင်းဆုံးဖြစ်အောင် လုပ်ဆောင်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြဿနာများအတွက် အရေးကြီးသော အချက်များကို ဆုံးဖြတ်ရာတွင် ကူညီပေးနိုင်ပါသည်။ ထို့အပြင်၊ ရှုပ်ထွေးသော polynomials များ၏ အမြစ်များသည် ရှုပ်ထွေးသောခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်ပြီး လျှပ်စစ်ပတ်လမ်းများ၊ လှိုင်းများပျံ့နှံ့ခြင်းနှင့် ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်များကို လေ့လာရာတွင် အရေးပါသောအခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ပါသည်။
လေးထောင့်အမြစ်များ၊ cube အမြစ်များနှင့် nth အမြစ်များအပါအဝင် အမြစ်များ၏သဘောတရားကို နားလည်ခြင်းသည် သင်္ချာနှင့်၎င်း၏အသုံးချနယ်ပယ်များတွင် ညီမျှခြင်းများနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် မရှိမဖြစ်လိုအပ်ပါသည်။ ကိန်းဂဏန်းညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ခြင်း သို့မဟုတ် လုပ်ဆောင်ချက်များ၏ အမူအကျင့်များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းပဲဖြစ်ဖြစ်၊ roots များသည် သင်္ချာရှာဖွေရေးနှင့် ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုအတွက် အရေးကြီးသောကိရိယာတစ်ခု ပေးစွမ်းပါသည်။
