गणित मा, जरा को अवधारणा मौलिक छ र विभिन्न क्षेत्रहरु जस्तै बीजगणित, क्यालकुलस, र जटिल संख्याहरु मा देखा पर्दछ। प्रकार्यको मूल भनेको इनपुट (वा तर्क) हो जसको लागि प्रकार्यको आउटपुट शून्य हुन्छ। सरल शब्दहरूमा, यो मान हो जुन, जब समीकरणमा सम्मिलित हुन्छ, समीकरणलाई सत्य बनाउँछ। यस पाठले जराको अवधारणाको अन्वेषण गर्नेछ, विशेष गरी बहुपदीय कार्यहरू, वर्गमूल, घन जरा, र nth जराहरूको सामान्य विचारमा केन्द्रित।
बहुपदको मूल भनेको शून्यको बराबर सेट गर्दा बन्ने समीकरणको समाधान हो। उदाहरणका लागि, बहुपदीय समीकरण \(x^2 - 4 = 0\) को लागि, मूलहरू \(x\) को मानहरू हुन् जसले समीकरणलाई सत्य बनाउँछ। यस अवस्थामा, जराहरू \(x = 2\) र \(x = -2\) हुन्, किनभने समीकरणमा \(x\) को लागि यी मध्ये कुनै पनि मान प्रतिस्थापनले यसलाई सत्य बनाउँछ ( \(2^2 - 4 = 0\) र \((-2)^2 - 4 = 0\) )।
जरा वास्तविक वा जटिल हुन सक्छ। वास्तविक जराहरू ती हुन् जुन वास्तविक संख्या रेखामा फेला पार्न सकिन्छ, जबकि जटिल जरहरूमा काल्पनिक संख्याहरू समावेश हुन्छन् र वास्तविक संख्या रेखामा फेला पार्न सकिँदैन। जटिल जराहरू प्रायः जोडीहरूमा आउँछन् जुन एकअर्काको जटिल संयुग्मित हुन्छन्, जस्तै \(3 + 2i\) र \(3 - 2i\)
संख्या \(x\) को वर्गमूल एउटा संख्या \(y\) जस्तै \(y^2 = x\) हो। वर्गमूल प्रतीक \(\sqrt{x}\) द्वारा प्रतिनिधित्व गरिएको छ। उदाहरण को लागी, 9 को वर्गमूल 3 हो, किनभने \(3^2 = 9\) । प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्यामा दुई वर्गमूलहरू हुन्छन्: एउटा सकारात्मक र अर्को ऋणात्मक। यद्यपि, कन्वेंशनद्वारा, शब्द "वर्गमूल" ले सामान्यतया सकारात्मक जरालाई जनाउँछ। ० को वर्गमूल ० हो, र ऋणात्मक संख्याहरूमा वास्तविक वर्गमूल हुँदैन किनभने कुनै पनि वास्तविक संख्या वर्गले नकारात्मक परिणाम दिँदैन।
संख्या \(x\) को घनमूल एक संख्या \(y\) जस्तै \(y^3 = x\) हो। यो प्रतीक \(\sqrt[3]{x}\) द्वारा प्रतिनिधित्व गरिएको छ। वर्गमूलको विपरीत, प्रत्येक वास्तविक संख्यामा ठ्याक्कै एउटा वास्तविक घनमूल हुन्छ। उदाहरणका लागि, 8 को घनमूल 2 हो, किनभने \(2^3 = 8\) , र -8 को घनमूल -2 हो, किनभने \((-2)^3 = -8\) ।
सङ्ख्या \(x\) को nth मूल भनेको \(y\) संख्या \(y^n = x\) हो, जहाँ \(n\) 1 भन्दा ठूलो धनात्मक पूर्णाङ्क हो। यसलाई द्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ। प्रतीक \(\sqrt[n]{x}\) । \(n\) को सम मानको लागि, सकारात्मक संख्या \(x\) दुई nth जराहरू छन्: एउटा धनात्मक र अर्को ऋणात्मक। उदाहरणका लागि, \(\sqrt[4]{16} = 2\) र \(\sqrt[4]{16} = -2\) , किनभने \(2^4 = 16\) र \((-2)^4 = 16\) । यद्यपि, यदि \(x\) ऋणात्मक छ र \(n\) सम हो भने, त्यहाँ कुनै वास्तविक nth जराहरू छैनन्। यदि \(n\) बिजोर छ भने, कुनै पनि वास्तविक संख्या \(x\) , धनात्मक वा ऋणको लागि ठ्याक्कै एउटा वास्तविक nth मूल हुन्छ।
बहुपदीय समीकरणको उच्चतम डिग्रीले संकेत गरे जति धेरै जराहरू हुन सक्छन्। उदाहरण को लागी, एक वर्ग समीकरण, जो डिग्री 2 को बहुपद समीकरण हो, मा 2 वास्तविक जरा हुन सक्छ। समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) , जहाँ \(a\) , \(b\) , र \(c\) स्थिर हुन्छन् र \(a \neq 0\) , एक विशिष्ट छ। द्विघात समीकरणको उदाहरण। द्विघात सूत्र प्रयोग गरेर, \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , हामीले यसको जरा पत्ता लगाउन सक्छौं।
त्यस्तै, घन समीकरण, जुन डिग्री ३ को बहुपद हो, यसमा ३ वटा वास्तविक जरा हुन सक्छन्। घन समीकरणको सामान्य रूप \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) , जहाँ \(a\) , \(b\) , \(c\) , र \(d\) हो। \(d\) स्थिरांक र \(a \neq 0\) हुन्। क्यूबिक समीकरणको जरा पत्ता लगाउनका लागि चतुर्भुज समीकरणहरूको तुलनामा थप जटिल विधिहरू आवश्यक पर्दछ, जस्तै कार्डानोको विधि।
जराहरू पत्ता लगाउने अर्को विधि, विशेष गरी बहुपदीय समीकरणहरूको लागि, कारकीकरण हो। यसले बहुपदलाई यसको कारकहरूको उत्पादनको रूपमा व्यक्त गर्न समावेश गर्दछ। यदि बहुपद \(P(x)\) \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) रूपमा कारक बनाउन सकिन्छ, त्यसपछि \(r_1\) , \(r_2\) , …, \(r_n\) बहुपदका मूल हुन्। उदाहरणका लागि, बहुपद \(x^2 - 4\) \((x - 2)(x + 2)\) रूपमा कारक बनाउन सकिन्छ, \(2\) र \(-2\) यसको जराको रूपमा जनाउँछ।
कार्यहरूको जराहरू पनि ग्राफहरू प्रयोग गरेर दृश्यात्मक रूपमा निर्धारण गर्न सकिन्छ। बिन्दुको x-निर्देशन जहाँ प्रकार्यको ग्राफले x-अक्षलाई पार गर्दछ समारोहको मूलसँग मेल खान्छ। यो ग्राफिकल दृष्टिकोण जराको वितरण र कार्यहरूको व्यवहार बुझ्नको लागि उपयोगी हुन सक्छ, यद्यपि यसले सधैं सही रूट मानहरू प्रदान नगर्न सक्छ।
गणित र यसको प्रयोगका विभिन्न क्षेत्रहरूमा जराले महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छ। बीजगणितमा, तिनीहरू बहुपदीय समीकरणहरू समाधान गर्न प्रयोग गरिन्छ, जुन ईन्जिनियरिङ्, भौतिकी, र अर्थशास्त्र जस्ता क्षेत्रहरूमा आधारभूत हुन्छ। क्यालकुलसमा, कार्यहरूको जराहरू फेला पार्नाले अनुकूलन समस्याहरूको लागि महत्वपूर्ण बिन्दुहरू निर्धारण गर्न मद्दत गर्न सक्छ। यसबाहेक, जटिल विश्लेषणमा बहुपदहरूको जटिल जराहरू आवश्यक हुन्छन् र विद्युतीय सर्किट, तरंग प्रसार, र क्वान्टम मेकानिक्सको अध्ययनमा महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छन्।
वर्गमूल, घन जरा, र न्थ जरा सहित जराको अवधारणा बुझ्न, गणित र यसको लागू क्षेत्रहरूमा समीकरण र विश्लेषणात्मक समस्याहरू समाधान गर्न आवश्यक छ। चाहे बहुपदीय समीकरणको समाधान पहिचान गर्ने होस् वा कार्यहरूको व्यवहारको विश्लेषण गर्ने होस्, जराले गणितीय अन्वेषण र खोजको लागि महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान गर्दछ।
