ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดเรื่องรากเป็นพื้นฐานและปรากฏในพื้นที่ต่างๆ เช่น พีชคณิต แคลคูลัส และแม้แต่จำนวนเชิงซ้อน รากของฟังก์ชันคืออินพุต (หรืออาร์กิวเมนต์) ซึ่งเอาต์พุตของฟังก์ชันเป็นศูนย์ พูดง่ายๆ ก็คือค่าที่ทำให้สมการเป็นจริงเมื่อแทรกเข้าไปในสมการ บทเรียนนี้จะสำรวจแนวคิดเรื่องราก โดยเน้นไปที่ฟังก์ชันพหุนาม รากที่สอง รากที่สาม และแนวคิดทั่วไปของรากที่ n
รากของพหุนามคือคำตอบของสมการที่เกิดขึ้นเมื่อพหุนามตั้งค่าเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการพหุนาม \(x^2 - 4 = 0\) รากคือค่าของ \(x\) ที่ทำให้สมการเป็นจริง ในกรณีนี้ ค่ารากคือ \(x = 2\) และ \(x = -2\) เนื่องจากการแทนที่ค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ด้วย \(x\) ในสมการจะทำให้ค่าดังกล่าวเป็นจริง ( \(2^2 - 4 = 0\) และ \((-2)^2 - 4 = 0\) )
รากอาจเป็นของจริงหรือซับซ้อนก็ได้ รากจริงคือรากที่สามารถพบได้บนเส้นจำนวนจริง ในขณะที่รากที่ซับซ้อนเกี่ยวข้องกับจำนวนจินตภาพและไม่สามารถพบได้บนเส้นจำนวนจริง รากที่ซับซ้อนมักมาเป็นคู่ที่เป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนของกันและกัน เช่น \(3 + 2i\) และ \(3 - 2i\)
รากที่สองของตัวเลข \(x\) คือตัวเลข \(y\) ที่ทำให้ \(y^2 = x\) รากที่สองแสดงด้วยสัญลักษณ์ \(\sqrt{x}\) ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 9 คือ 3 เพราะ \(3^2 = 9\) จำนวนจริงบวกทุกจำนวนจะมีรากที่สองสองอัน: หนึ่งค่าบวกและหนึ่งค่าลบ อย่างไรก็ตาม ตามธรรมเนียมแล้ว คำว่า "รากที่สอง" มักจะหมายถึงรากที่เป็นบวก รากที่สองของ 0 คือ 0 และจำนวนลบไม่มีรากที่สองจริง เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงกำลังสองให้ผลลัพธ์เป็นลบ
รากที่สามของตัวเลข \(x\) คือตัวเลข \(y\) ที่ทำให้ \(y^3 = x\) มันถูกแสดงด้วยสัญลักษณ์ \(\sqrt[3]{x}\) ต่างจากรากที่สองตรงที่จำนวนจริงทุกจำนวนมีรากที่สามจริงเพียงตัวเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 8 คือ 2 เพราะ \(2^3 = 8\) และรากที่สามของ -8 คือ -2 เพราะ \((-2)^3 = -8\)
รากที่ n ของตัวเลข \(x\) คือตัวเลข \(y\) โดยที่ \(y^n = x\) โดยที่ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 แสดงโดย สัญลักษณ์ \(\sqrt[n]{x}\) . สำหรับค่าคู่ของ \(n\) จำนวนบวก \(x\) มีรากที่ n สองตัว: หนึ่งค่าบวกและหนึ่งค่าลบ ตัวอย่างเช่น \(\sqrt[4]{16} = 2\) และ \(\sqrt[4]{16} = -2\) เพราะ \(2^4 = 16\) และ \((-2)^4 = 16\) . อย่างไรก็ตาม หาก \(x\) เป็นลบและ \(n\) เป็นจำนวนคู่ ก็จะไม่มีรากที่ n ที่เป็นจำนวนจริง ถ้า \(n\) เป็นเลขคี่ จะมีรากที่ n จริงเพียงตัวเดียวสำหรับจำนวนจริงใดๆ \(x\) เป็นบวกหรือลบ
สมการพหุนามอาจมีรากได้มากเท่ากับระดับสูงสุดที่ระบุ ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองซึ่งเป็นสมการพหุนามระดับ 2 สามารถมีรากจริงได้มากถึง 2 ราก สมการ \(ax^2 + bx + c = 0\) โดยที่ \(a\) , \(b\) และ \(c\) เป็นค่าคงที่ และ \(a \neq 0\) เป็นแบบอย่าง ตัวอย่างของสมการกำลังสอง โดยใช้สูตรกำลังสอง \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) เราสามารถหารากของมันได้
ในทำนองเดียวกัน สมการลูกบาศก์ซึ่งเป็นพหุนามระดับ 3 สามารถมีรากจริงได้มากถึง 3 ราก รูปแบบทั่วไปของสมการลูกบาศก์คือ \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) โดยที่ \(a\) , \(b\) , \(c\) และ \(d\) เป็นค่าคงที่และ \(a \neq 0\) การหารากของสมการกำลังสามอาจต้องใช้วิธีที่ซับซ้อนกว่าเมื่อเทียบกับสมการกำลังสอง เช่น วิธีคาร์ดาโน
อีกวิธีหนึ่งในการหาราก โดยเฉพาะสมการพหุนามก็คือการแยกตัวประกอบ สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงพหุนามเป็นผลคูณของปัจจัยของมัน ถ้าพหุนาม \(P(x)\) สามารถแยกตัวประกอบเป็น \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) แล้ว \(r_1\) , \(r_2\) , …, \(r_n\) คือรากของพหุนาม ตัวอย่างเช่น พหุนาม \(x^2 - 4\) สามารถแยกตัวประกอบเป็น \((x - 2)(x + 2)\) โดยระบุ \(2\) และ \(-2\) เป็นรากของมัน
รากของฟังก์ชันสามารถกำหนดได้ด้วยสายตาโดยใช้กราฟ พิกัด x ของจุดที่กราฟของฟังก์ชันตัดผ่านแกน x สอดคล้องกับรากของฟังก์ชัน วิธีการแบบกราฟิกนี้อาจมีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจการกระจายตัวของรากและพฤติกรรมของฟังก์ชัน แม้ว่าอาจไม่ได้ให้ค่ารากที่แน่นอนเสมอไปก็ตาม
รากมีบทบาทสำคัญในด้านต่างๆ ของคณิตศาสตร์และการประยุกต์ ในพีชคณิต ใช้ในการแก้สมการพหุนามซึ่งเป็นพื้นฐานในสาขาต่างๆ เช่น วิศวกรรมศาสตร์ ฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์ ในแคลคูลัส การค้นหารากของฟังก์ชันสามารถช่วยระบุจุดวิกฤตสำหรับปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดได้ นอกจากนี้ รากที่ซับซ้อนของพหุนามมีความสำคัญในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน และมีบทบาทสำคัญในการศึกษาวงจรไฟฟ้า การแพร่กระจายของคลื่น และกลศาสตร์ควอนตัม
การทำความเข้าใจแนวคิดเรื่องราก ซึ่งรวมถึงรากที่สอง รากที่สาม และรากที่ n เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้สมการและปัญหาการวิเคราะห์ในคณิตศาสตร์และสาขาที่ประยุกต์ ไม่ว่าจะเป็นการระบุคำตอบของสมการพหุนามหรือการวิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชัน รากเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการสำรวจและค้นพบทางคณิตศาสตร์
