ریاضی میں، جڑوں کا تصور بنیادی ہے اور مختلف علاقوں میں ظاہر ہوتا ہے جیسے کہ الجبرا، کیلکولس، اور یہاں تک کہ پیچیدہ اعداد۔ فنکشن کا روٹ ایک ان پٹ (یا دلیل) ہے جس کے لیے فنکشن کا آؤٹ پٹ صفر ہے۔ آسان الفاظ میں، یہ وہ قدر ہے جو، مساوات میں داخل ہونے پر، مساوات کو درست بناتی ہے۔ یہ سبق جڑوں کے تصور کو تلاش کرے گا، خاص طور پر کثیر الثانی افعال، مربع جڑوں، مکعب جڑوں، اور نویں جڑوں کے عمومی خیال پر توجہ مرکوز کرتا ہے۔
کثیرالاضلاع کی جڑ اس مساوات کا حل ہے جو اس وقت بنتی ہے جب کثیرالاضلاع صفر کے برابر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کثیر الجہتی مساوات \(x^2 - 4 = 0\) کے لیے، جڑیں \(x\) کی قدریں ہیں جو مساوات کو درست بناتی ہیں۔ اس صورت میں، جڑیں \(x = 2\) اور \(x = -2\) ہیں، کیونکہ مساوات میں \(x\) کے لیے ان میں سے کسی ایک کو تبدیل کرنے سے یہ درست ہو جاتا ہے ( \(2^2 - 4 = 0\) اور \((-2)^2 - 4 = 0\) )۔
جڑیں اصلی یا پیچیدہ ہو سکتی ہیں۔ اصلی جڑیں وہ ہیں جو حقیقی نمبر لائن پر پائی جا سکتی ہیں، جب کہ پیچیدہ جڑوں میں خیالی اعداد شامل ہوتے ہیں اور حقیقی نمبر لائن پر نہیں مل سکتے۔ پیچیدہ جڑیں اکثر جوڑوں میں آتی ہیں جو ایک دوسرے کے پیچیدہ جوڑ ہوتے ہیں، جیسے \(3 + 2i\) اور \(3 - 2i\) ۔
کسی عدد کا مربع جڑ \(x\) ایک عدد \(y\) اس طرح ہے کہ \(y^2 = x\) ۔ مربع جڑ کو علامت \(\sqrt{x}\) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، 9 کا مربع جڑ 3 ہے، کیونکہ \(3^2 = 9\) ۔ ہر مثبت حقیقی نمبر کی دو مربع جڑیں ہیں: ایک مثبت اور ایک منفی۔ تاہم، کنونشن کے مطابق، اصطلاح "مربع جڑ" عام طور پر مثبت جڑ سے مراد ہے۔ 0 کا مربع جڑ 0 ہے، اور منفی نمبروں میں حقیقی مربع جڑ نہیں ہوتی ہے کیونکہ کوئی حقیقی عدد مربع منفی نتیجہ نہیں دیتا ہے۔
ایک عدد \(x\) کا کیوب جڑ ایک عدد \(y\) اس طرح ہے کہ \(y^3 = x\) ۔ اس کی نمائندگی علامت \(\sqrt[3]{x}\) سے ہوتی ہے۔ مربع جڑوں کے برعکس، ہر حقیقی عدد میں بالکل ایک حقیقی مکعب جڑ ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، 8 کا مکعب جڑ 2 ہے، کیونکہ \(2^3 = 8\) ، اور -8 کا مکعب جڑ -2 ہے، کیونکہ \((-2)^3 = -8\) ۔
نمبر \(x\) کی nویں جڑ ایک عدد \(y\) اس طرح ہے کہ \(y^n = x\) ، جہاں \(n\) 1 سے بڑا مثبت عدد ہے۔ اس کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ علامت \(\sqrt[n]{x}\) ۔ \(n\) کی یکساں قدر کے لیے، ایک مثبت نمبر \(x\) دو ویں جڑیں ہیں: ایک مثبت اور ایک منفی۔ مثال کے طور پر، \(\sqrt[4]{16} = 2\) اور \(\sqrt[4]{16} = -2\) ، کیونکہ \(2^4 = 16\) اور \((-2)^4 = 16\) ۔ تاہم، اگر \(x\) منفی ہے اور \(n\) برابر ہے، تو کوئی حقیقی nth جڑیں نہیں ہیں۔ اگر \(n\) طاق ہے، تو کسی بھی حقیقی نمبر \(x\) کے لیے بالکل ایک حقیقی nth جڑ ہے، مثبت یا منفی۔
ایک کثیر الجہتی مساوات میں اتنی ہی جڑیں ہوسکتی ہیں جتنی اس کی اعلیٰ ترین ڈگری بتاتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک چوکور مساوات، جو کہ ڈگری 2 کی کثیر الجہتی مساوات ہے، میں 2 اصلی جڑیں ہو سکتی ہیں۔ مساوات \(ax^2 + bx + c = 0\) ، جہاں \(a\) ، \(b\) ، اور \(c\) مستقل ہیں اور \(a \neq 0\) ، ایک عام ہے چوکور مساوات کی مثال۔ چوکور فارمولہ استعمال کرکے، \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) ، ہم اس کی جڑیں تلاش کر سکتے ہیں۔
اسی طرح، ایک کیوبک مساوات، جو ڈگری 3 کا کثیر الجہتی ہے، میں 3 اصلی جڑیں ہو سکتی ہیں۔ کیوبک مساوات کی عمومی شکل \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) ہے، جہاں \(a\) ، \(b\) ، \(c\) ، اور \(d\) مستقل ہیں اور \(a \neq 0\) ۔ کیوبک مساوات کی جڑیں تلاش کرنے کے لیے چوکور مساوات کے مقابلے میں زیادہ پیچیدہ طریقوں کی ضرورت ہو سکتی ہے، جیسے کارڈانو کا طریقہ۔
جڑیں تلاش کرنے کا ایک اور طریقہ، خاص طور پر کثیر مساوات کے لیے، فیکٹرائزیشن ہے۔ اس میں کثیر کو اس کے عوامل کی پیداوار کے طور پر ظاہر کرنا شامل ہے۔ اگر ایک کثیر الجہتی \(P(x)\) \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) طور پر فیکٹر کیا جا سکتا ہے، پھر \(r_1\) ، \(r_2\) , …, \(r_n\) کثیر نام کی جڑیں ہیں۔ مثال کے طور پر، کثیر الجہتی \(x^2 - 4\) \((x - 2)(x + 2)\) کے طور پر فیکٹرائز کیا جا سکتا ہے، اس کی جڑوں کے طور پر \(2\) اور \(-2\) کو ظاہر کرتا ہے۔
فنکشنز کی جڑیں گراف کا استعمال کرتے ہوئے بصری طور پر بھی متعین کی جا سکتی ہیں۔ نقطہ کا ایکس کوآرڈینیٹ جہاں کسی فنکشن کا گراف ایکس محور کو کراس کرتا ہے فنکشن کی جڑ سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ گرافیکل نقطہ نظر جڑوں کی تقسیم اور افعال کے رویے کو سمجھنے کے لیے کارآمد ثابت ہو سکتا ہے، حالانکہ یہ ہمیشہ جڑ کی درست اقدار فراہم نہیں کر سکتا۔
جڑیں ریاضی کے مختلف شعبوں اور اس کے استعمال میں اہم کردار ادا کرتی ہیں۔ الجبرا میں، وہ کثیر الجہتی مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جو کہ انجینئرنگ، فزکس اور معاشیات جیسے شعبوں میں بنیادی حیثیت رکھتی ہے۔ کیلکولس میں، افعال کی جڑیں تلاش کرنے سے اصلاح کے مسائل کے لیے اہم نکات کا تعین کرنے میں مدد مل سکتی ہے۔ مزید برآں، پیچیدہ تجزیہ میں کثیر الجہتی جڑیں ضروری ہیں اور برقی سرکٹس، لہروں کے پھیلاؤ اور کوانٹم میکانکس کے مطالعہ میں اہم کردار ادا کرتی ہیں۔
جڑوں کے تصور کو سمجھنا، بشمول مربع جڑیں، مکعب جڑیں، اور نویں جڑیں، ریاضی اور اس کے اطلاق شدہ شعبوں میں مساوات اور تجزیاتی مسائل کو حل کرنے کے لیے ضروری ہے۔ چاہے وہ کثیر الجہتی مساوات کے حل کی نشاندہی کر رہا ہو یا افعال کے رویے کا تجزیہ کرنا ہو، جڑیں ریاضی کی تلاش اور دریافت کے لیے ایک اہم ذریعہ فراہم کرتی ہیں۔
