Matematikada ildizlar tushunchasi fundamentaldir va algebra, hisob va hatto murakkab sonlar kabi turli sohalarda namoyon bo'ladi. Funktsiyaning ildizi - bu funktsiyaning chiqishi nolga teng bo'lgan kirish (yoki argument). Oddiyroq qilib aytganda, bu tenglamaga kiritilganda tenglamani haqiqatga aylantiradigan qiymatdir. Ushbu darsda ildizlar tushunchasi o'rganiladi, xususan polinom funktsiyalari, kvadrat ildizlar, kub ildizlari va n- ildizlarning umumiy g'oyasiga e'tibor qaratiladi.
Ko'phadning ildizi ko'phad nolga tenglashtirilganda hosil bo'lgan tenglamaning yechimidir. Masalan, \(x^2 - 4 = 0\) polinom tenglamasi uchun ildizlar tenglamani haqiqatga aylantiruvchi \(x\) qiymatlaridir. Bu holda, ildizlar \(x = 2\) va \(x = -2\) bo'ladi, chunki tenglamadagi \(x\) o'rniga ushbu qiymatlardan birini qo'yish uni haqiqatga aylantiradi ( \(2^2 - 4 = 0\) va \((-2)^2 - 4 = 0\) ).
Ildizlar haqiqiy yoki murakkab bo'lishi mumkin. Haqiqiy ildizlar haqiqiy son chizig'ida topilishi mumkin bo'lgan ildizlardir, murakkab ildizlar esa xayoliy sonlarni o'z ichiga oladi va haqiqiy son chizig'ida topilmaydi. Murakkab ildizlar ko'pincha bir-birining murakkab konjugatlari bo'lgan juft bo'lib keladi, masalan \(3 + 2i\) va \(3 - 2i\) .
\(x\) sonning kvadrat ildizi \(y\) son bo'lib, \(y^2 = x\) . Kvadrat ildiz \(\sqrt{x}\) belgisi bilan ifodalanadi. Masalan, 9 ning kvadrat ildizi 3 ga teng, chunki \(3^2 = 9\) . Har bir musbat haqiqiy sonning ikkita kvadrat ildizi bor: biri musbat va biri salbiy. Biroq, konventsiyaga ko'ra, "kvadrat ildiz" atamasi odatda ijobiy ildizga ishora qiladi. 0 ning kvadrat ildizi 0 ga teng va manfiy sonlar haqiqiy kvadrat ildizlarga ega emas, chunki hech qanday haqiqiy son kvadrati salbiy natija bermaydi.
\(x\) sonning kub ildizi \(y\) son bo'lib, \(y^3 = x\) . U \(\sqrt[3]{x}\) belgisi bilan ifodalanadi. Kvadrat ildizlardan farqli o'laroq, har bir haqiqiy sonda bitta haqiqiy kub ildizi mavjud. Masalan, 8 ning kub ildizi 2 ga teng, chunki \(2^3 = 8\) , -8 ning kub ildizi esa -2 ga teng, chunki \((-2)^3 = -8\) .
\(x\) sonning n- ildizi \(y\) son bo'lib, \(y^n = x\) , bu erda \(n\) 1 dan katta musbat butun sondir. U quyidagi bilan ifodalanadi. belgisi \(\sqrt[n]{x}\) . \(n\) ning juft qiymati uchun musbat son \(x\) ikkita n-chi ildizga ega: biri musbat va bitta manfiy. Masalan, \(\sqrt[4]{16} = 2\) va \(\sqrt[4]{16} = -2\) , chunki \(2^4 = 16\) va \((-2)^4 = 16\) . Biroq, agar \(x\) manfiy va \(n\) juft bo'lsa, haqiqiy n-chi ildiz yo'q. Agar \(n\) toq bo'lsa, musbat yoki manfiy \(x\) haqiqiy son uchun aynan bitta haqiqiy n-chi ildiz mavjud.
Polinom tenglama, uning eng yuqori darajasi ko'rsatgan darajada ko'p ildizga ega bo'lishi mumkin. Masalan, 2 darajali polinom tenglama bo'lgan kvadrat tenglama 2 tagacha haqiqiy ildizga ega bo'lishi mumkin. \(ax^2 + bx + c = 0\) tenglamasi, bu erda \(a\) , \(b\) va \(c\) doimiylar va \(a \neq 0\) , tipik hisoblanadi. kvadrat tenglamaga misol. Kvadrat formuladan foydalanib, \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) uning ildizlarini topishimiz mumkin.
Xuddi shunday, 3-darajali polinom bo'lgan kub tenglama 3 tagacha haqiqiy ildizga ega bo'lishi mumkin. Kub tenglamaning umumiy shakli \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) , bu erda \(a\) , \(b\) , \(c\) va \(d\) doimiylar va \(a \neq 0\) . Kub tenglamalarning ildizlarini topish uchun Kardano usuli kabi kvadrat tenglamalarga nisbatan murakkabroq usullar talab qilinishi mumkin.
Ildizlarni topishning yana bir usuli, ayniqsa polinomli tenglamalar uchun - faktorizatsiya. Bu polinomni uning omillari mahsuloti sifatida ifodalashni o'z ichiga oladi. Agar \(P(x)\) ko‘phadni \(P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)\) ko‘rsatkichlariga ajratish mumkin bo‘lsa, u holda \(r_1\) , \(r_2\) , …, \(r_n\) polinomning ildizlari. Masalan, \(x^2 - 4\) ko'phadni \((x - 2)(x + 2)\) ko'rinishida koeffitsientlarga ajratish mumkin, uning ildizlari \(2\) va \(-2\) ni ko'rsatadi.
Funksiyalarning ildizlarini grafiklar yordamida ham vizual aniqlash mumkin. Funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tgan nuqtaning x koordinatasi funktsiyaning ildiziga mos keladi. Ushbu grafik yondashuv ildizlarning taqsimlanishi va funktsiyalarning harakatini tushunish uchun foydali bo'lishi mumkin, ammo u har doim ham aniq ildiz qiymatlarini taqdim etmasligi mumkin.
Ildizlar matematikaning turli sohalarida va uni qo'llashda muhim rol o'ynaydi. Algebrada ular muhandislik, fizika va iqtisod kabi sohalarda asosiy bo'lgan polinom tenglamalarni echish uchun ishlatiladi. Hisoblashda funktsiyalarning ildizlarini topish optimallashtirish muammolari uchun muhim nuqtalarni aniqlashga yordam beradi. Bundan tashqari, polinomlarning murakkab ildizlari kompleks tahlilda muhim ahamiyatga ega va elektr zanjirlari, to'lqin tarqalishi va kvant mexanikasini o'rganishda hal qiluvchi rol o'ynaydi.
Ildizlar, jumladan, kvadrat ildizlar, kub ildizlar va n- ildizlar tushunchasini tushunish matematika va uning amaliy sohalarida tenglamalar va analitik masalalarni yechish uchun zarurdir. Polinom tenglamaning yechimini aniqlash yoki funksiyalarning harakatini tahlil qilish bo'ladimi, ildizlar matematik tadqiqotlar va kashfiyotlar uchun muhim vositadir.
