Дифференциал тэгшитгэл нь функц ба түүний дериватив хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог хүчирхэг математик хэрэгсэл юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь өөрчлөгддөг хэмжигдэхүүн, хэрхэн өөрчлөгдөхийг харуулдаг. Дифференциал тэгшитгэл нь нарийн төвөгтэй системийн зан төлөвийг загварчлахдаа инженерчлэл, физик, эдийн засаг, шинжлэх ухааны янз бүрийн салбаруудад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Дифференциал тэгшитгэл нь дериватив агуулсан шугаман тэгшитгэл шиг энгийн эсвэл шугаман бус тэгшитгэлийн систем шиг нарийн төвөгтэй байж болно. Үндсэндээ дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олох нь тэгшитгэлийг хангах функц эсвэл функцийн багцыг олох гэсэн үг юм.
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн стандарт хэлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
\(\frac{dy}{dx} = f(x, y)\)Энд \( \frac{dy}{dx} \) \( x \) -ын хувьд \( y \) -ийн дериватив, \( f(x, y) \) нь \( x \) ийн хувьд зарим функц юм. \( x \) ба \( y \) .
Энгийн дифференциал тэгшитгэл (ODEs): Эдгээр нь нэг хувьсагчтай холбоотой деривативуудыг агуулдаг. Тэдгээрийг дарааллаар нь ангилдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлд байгаа хамгийн өндөр деривативаар тодорхойлогддог.
Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлүүд (PDEs): Эдгээр нь хэсэгчилсэн деривативуудыг агуулдаг бөгөөд хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг судлахад ашиглагддаг. Эдгээр нь ихэвчлэн физик, инженерчлэлд, ялангуяа дулаан дамжуулалт, долгионы тархалт, шингэний динамикийн хүрээнд олддог.
Шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд нь функц ба түүний деривативуудын хооронд шугаман хамаарлыг хадгалдаг. Тэд дараах маягтыг дагаж мөрддөг.
\(a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)\)Шугаман бус дифференциал тэгшитгэлүүд нь шугаман хамааралгүй тул тэдгээрийг илүү төвөгтэй, шийдвэрлэхэд хэцүү болгодог. Жишээ нь функцийн бүтээгдэхүүн, хүч, түүний деривативыг агуулсан тэгшитгэлүүд орно.
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн нийтлэг хэлбэр нь:
\(\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)\)Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд хүчин зүйлсийг нэгтгэх аргыг ашиглаж болох бөгөөд ихэвчлэн \( \mu(x) \) гэж тэмдэглэгдсэн интегралчлагч хүчин зүйлийг хоёр талдаа үржүүлж тэгшитгэлийн зүүн талыг шууд интегралдах боломжтой болгодог.
Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
\(\frac{dy}{dx} + 2y = x^2\)Интегралчлах коэффициентийг \( \mu(x) = e^{\int 2dx} = e^{2x} \) гэж тооцоолж болно. Хоёр талыг энэ хүчин зүйлээр үржүүлэх нь тэгшитгэлийг хялбарчилж, \( y \) -ийг нэгтгэж, шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно.
Хүн амын өсөлт: Хүн амын өсөлтийн хурдыг дифференциал тэгшитгэлээр загварчилж болно. Энгийнээр хэлэхэд хэрэв өсөлтийн хурд нь популяцийн хэмжээтэй пропорциональ байвал энэ нь дараахь байдлаар тодорхойлсон экспоненциал загварыг дагаж мөрддөг.
\(\frac{dP}{dt} = kP\)\( P \) нь хүн амын тоог, \( t \) цаг хугацааг, \( k \) өсөлтийн хурдыг илэрхийлдэг тогтмол юм.
Цацраг идэвхит задрал: Цацраг идэвхт бодис нь одоогийн хэмжээтэй пропорциональ хурдаар ялзардаг. Энэ хувилбарыг тэгшитгэлээр загварчилсан болно:
\(\frac{dN}{dt} = -\lambda N\)Энд \( N \) нь бодисын хэмжээ, \( t \) нь цаг хугацаа, \( \lambda \) нь задралын тогтмол юм. Энэ бол нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн өөр нэг жишээ юм.
Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл явц нь ихэвчлэн интегралд ордог. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд хувьсагчдыг салгах, интегралчлах хүчин зүйлийн арга гэх мэт аргууд түгээмэл байдаг. Дээд эрэмбийн болон хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд шинж чанарын тэгшитгэл, Лапласын хувиргалт эсвэл Эйлерийн арга эсвэл Рунге-Куттагийн арга зэрэг тоон ойролцоолсон аргуудыг агуулсан аргууд илүү төвөгтэй болдог.
Дифференциал тэгшитгэлийн аналитик шийдлүүд нь тодорхой функц эсвэл томьёо өгдөг. Гэсэн хэдий ч бодит ертөнцийн олон асуудал аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжгүй тэгшитгэлд хүргэдэг. Эдгээр тохиолдолд тоон аргуудыг салангид цэгүүдийн шийдлийг ойртуулж, судалж буй системийн үйл ажиллагааны талаархи ойлголтыг өгдөг.
Тоон жишээ: Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг \(\frac{dy}{dx} = -2y\) анхдагч нөхцөлтэй \(y(0) = 1\) шийдвэрлэх талаар авч үзье. Энгийн тоон аргуудын нэг бол Эйлерийн арга бөгөөд х тэнхлэгийн дагуух жижиг алхмуудын дагуу шийдлийг ойртуулдаг. X тэнхлэгийг ялгаж, \(y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n)\) томъёог хэрэглэснээр \(h\) нь алхамын хэмжээ юм, бид шийдлийг дараах байдлаар ойролцоогоор гаргаж болно. болгоомжтой цэгүүд.
Дифференциал тэгшитгэл нь янз бүрийн салбар дахь динамик системийн үйл ажиллагааг ойлгох, урьдчилан таамаглахад маш чухал юм. Аналитик эсвэл тоон аргуудын аль нь ч бай эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх нь байгалийн болон хүний гараар бүтсэн үзэгдлийн нарийн төвөгтэй байдлыг тайлахад тусалдаг. Математикийн хэрэгслүүдийн хувьд тэд онолыг бодит ертөнцтэй холбодог бөгөөд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд тооцоолол, математикийн ач холбогдлыг онцолж өгдөг.
Дифференциал тэгшитгэлийг эзэмших аялал нь янз бүрийн арга, хэрэглээг ойлгохыг хамардаг ч үндсэн ойлголт нь өөрчлөлтийг судлах, өөр өөр хэмжигдэхүүнүүд нь тэдгээрийн өөрчлөлтийн хурдаар хэрхэн харилцан хамааралтай болохыг судлах явдал хэвээр байна. Энэхүү мэдлэгээр хангагдсан оюутнууд болон мэргэжилтнүүд олон салбар дахь үр дүнг загварчлах, дүн шинжилгээ хийх, урьдчилан таамаглахад дифференциал тэгшитгэлийг ашиглах боломжтой.
