في هذا الدرس، سوف نستكشف عالم المتجهات الإقليدية. المتجهات هي مفهوم أساسي في الرياضيات والهندسة، وتستخدم لتمثيل الكميات التي لها مقدار واتجاه. يعد فهم المتجهات أمرًا بالغ الأهمية لمختلف التطبيقات في الفيزياء والهندسة ورسومات الكمبيوتر والمزيد.
المتجه الإقليدي ، والذي غالبًا ما يسمى ببساطة المتجه، هو كائن هندسي له حجم (أو طول) واتجاه. يمكن تمثيل المتجهات بأبعاد متعددة، ولكن للتبسيط، سنبدأ بالمتجهات في فضاء ثنائي الأبعاد. يتم رسم المتجه عادةً على شكل سهم، حيث يمثل طول السهم مقدار المتجه، ويوضح اتجاه السهم اتجاه المتجه.
يمكن تمثيل المتجهات بعدة طرق. أحد التمثيلات الشائعة يكون على شكل إحداثيات، مثل \( \vec{v} = (x, y) \) حيث \(x\) و \(y\) هي مكونات المتجه في الاتجاه الأفقي والرأسي الاتجاهات على التوالي. هناك طريقة أخرى لتمثيل المتجهات وهي استخدام الترميز \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) حيث \(\hat{i}\) و \(\hat{j}\) هي متجهات الوحدة في الاتجاهين الأفقي والرأسي، على التوالي.
يمكن حساب حجم المتجه \(\vec{v} = (x, y)\) باستخدام نظرية فيثاغورس: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . غالبًا ما يتم وصف اتجاه المتجه باستخدام الزاوية \(\theta\) التي يصنعها مع المحور السيني الموجب، والتي يمكن تحديدها باستخدام علم المثلثات، وتحديدًا عبر دالة الظل: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
هناك العديد من العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها باستخدام المتجهات، بما في ذلك الجمع والطرح والضرب القياسي .
المنتج النقطي (أو المنتج القياسي) لمتجهين \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) ، يُشار إليهما باسم \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ، هي طريقة لضرب المتجهات للحصول على رقم (رقم). يتم تعريف المنتج النقطي كـ \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) ، حيث \(\theta\) هي الزاوية بين \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) . إذا تم إعطاء المتجهات بواسطة مكوناتها، \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) و \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) فيمكن حساب حاصل الضرب النقطي كـ \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . يمكن استخدام حاصل الضرب النقطي لتحديد الزاوية بين متجهين أو لعرض متجه على آخر.
إسقاط المتجه \(\vec{a}\) على المتجه \(\vec{b}\) هو متجه يمثل مكون \(\vec{a}\) في اتجاه \(\vec{b}\) . يتم إعطاء الإسقاط بواسطة الصيغة: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) ، والذي يقيس \(\vec{b}\) وفقًا لنسبة المنتج النقطي.
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم استخدام عملية أخرى تسمى الضرب الاتجاهي لإيجاد متجه عمودي على متجهين آخرين. إذا كان \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) متجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن الضرب الاتجاهي \(\vec{a} \times \vec{b}\) هو متجه عمودي على كل من \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) الذي يبلغ حجمه \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) و \(\theta\) هي الزاوية بين \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) . تعتبر هذه العملية حاسمة في الفيزياء والهندسة لإيجاد المتجهات العادية للأسطح أو في حساب عزم الدوران.
تجد المتجهات تطبيقات في العديد من المجالات:
لتصور إضافة المتجهات، فكر في المتجهين \(\vec{a} = (3, 2)\) و \(\vec{b} = (2, 1)\) . لإضافة هذه المتجهات، ارسم \(\vec{a}\) بدءًا من الأصل (0, 0) ثم ارسم \(\vec{b}\) بدءًا من رأس \(\vec{a}\) . ينتقل المتجه الناتج \(\vec{r}\) من الأصل إلى رأس \(\vec{b}\) الذي تم وضعه على رأس \(\vec{a}\) . يمكن حساب إحداثيات \(\vec{r}\) على النحو التالي \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
تعد المتجهات الإقليدية جزءًا أساسيًا من الرياضيات والهندسة، حيث توفر طريقة لقياس الكميات التي لها حجم واتجاه ومعالجتها. من خلال عمليات مثل الجمع والطرح والضرب النقطي والضرب الاتجاهي، يمكن للنواقل أن تصمم ظواهر العالم الحقيقي وتحل المشكلات المعقدة في مختلف المجالات. من خلال فهم المبادئ الأساسية للمتجهات، يمكنك بناء أساس لمزيد من الدراسات المتقدمة في الفيزياء والهندسة وعلوم الكمبيوتر وغيرها من التخصصات. يمهد الحدس الهندسي والعمليات الجبرية المقدمة باستخدام المتجهات الطريق لمفاهيم أكثر تعقيدًا مثل الفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية، والتي تلعب دورًا حاسمًا في الرياضيات العليا والتطبيقات العملية على حدٍ سواء.
