Bu dərsdə biz Evklid vektorları dünyasını araşdıracağıq. Vektorlar riyaziyyat və həndəsədə həm böyüklük, həm də istiqamətə malik kəmiyyətləri təmsil etmək üçün istifadə olunan əsas anlayışdır. Vektorları başa düşmək fizika, mühəndislik, kompüter qrafikası və s. sahələrdə müxtəlif tətbiqlər üçün vacibdir.
Tez-tez sadəcə vektor adlandırılan Evklid vektoru böyüklüyü (və ya uzunluğu) və istiqaməti olan həndəsi bir obyektdir. Vektorlar bir neçə ölçüdə təmsil oluna bilər, lakin sadəlik üçün iki ölçülü məkanda vektorlarla başlayacağıq. Bir vektor adətən ox kimi çəkilir, burada oxun uzunluğu vektorun böyüklüyünü, oxun istiqaməti isə vektorun istiqamətini göstərir.
Vektorlar bir neçə yolla təmsil oluna bilər. Ümumi təsvirlərdən biri koordinatlar şəklindədir, məsələn \( \vec{v} = (x, y) \) , burada \(x\) və \(y\) üfüqi və şaquli vektorun komponentləridir. müvafiq olaraq istiqamətlər. Vektorları təmsil etməyin başqa bir yolu \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) qeydindən istifadə etməkdir, burada \(\hat{i}\) və \(\hat{j}\) müvafiq olaraq üfüqi və şaquli istiqamətlərdə vahid vektorlardır.
\(\vec{v} = (x, y)\) vektorunun böyüklüyü Pifaqor teoremindən istifadə etməklə hesablana bilər: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Vektorun istiqaməti tez-tez onun müsbət x oxu ilə yaratdığı \(\theta\) bucağından istifadə etməklə təsvir edilir, bu bucaq triqonometriyadan istifadə etməklə, xüsusən də tangens funksiyası vasitəsilə müəyyən edilə bilər: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Toplama , çıxma və skalyar vurma daxil olmaqla vektorlarla yerinə yetirilə bilən bir neçə fundamental əməliyyat var.
\(\vec{a}\) və \(\vec{b}\) iki vektorunun nöqtə hasili (və ya skalyar hasili) \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) kimi işarələnir, skalyar (ədəd) almaq üçün vektorların vurulması üsuludur. Nöqtə məhsulu \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) kimi müəyyən edilir, burada \(\theta\) \(\vec{a}\) və \(\vec{b}\) arasındakı bucaqdır. Vektorlar öz komponentləri ilə verilirsə, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) və \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , nöqtə hasilini \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) kimi hesablamaq olar. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Nöqtə məhsulu iki vektor arasındakı bucağı təyin etmək və ya bir vektoru digərinə proyeksiya etmək üçün istifadə edilə bilər.
\(\vec{a}\) vektorunun \(\vec{b}\) vektoruna proyeksiyası \ \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) istiqamətində təmsil edən vektordur. \(\vec{b}\) . Proyeksiya düsturla verilir: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , \(\vec{b}\) nöqtə məhsulu nisbətinə görə miqyaslanır.
Üçölçülü fəzada çarpaz məhsul adlanan başqa bir əməliyyat digər iki vektora perpendikulyar vektor tapmaq üçün istifadə olunur. Əgər \(\vec{a}\) və \(\vec{b}\) 3D fəzasında vektorlardırsa, çarpaz hasil \(\vec{a} \times \vec{b}\) vektoruna perpendikulyardır. həm \(\vec{a}\) və böyüklüyü \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) \(\ \(\vec{b}\) \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) və \(\theta\) \(\vec{a}\) və \(\vec{b}\) arasındakı bucaqdır. Bu əməliyyat səthlərə normal vektorların tapılması və ya fırlanma momentinin hesablanması üçün fizika və mühəndislikdə çox vacibdir.
Vektorlar çoxsaylı sahələrdə tətbiq tapır:
Vektor əlavəsini vizuallaşdırmaq üçün \(\vec{a} = (3, 2)\) və \(\vec{b} = (2, 1)\) iki vektorunu nəzərdən keçirin. Bu vektorları əlavə etmək üçün mənbədən (0, 0) başlayaraq \(\vec{a}\) çəkin və sonra \(\vec{b}\) başından başlayaraq \(\vec{a}\) çəkin. . Nəticə vektor \(\vec{r}\) başlanğıcdan \(\vec{b}\) başlanğıcına keçir \(\vec{a}\) başlığına yerləşdirilir. \(\vec{r}\) koordinatlarını \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) kimi hesablamaq olar. \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Evklid vektorları riyaziyyat və həndəsənin vacib hissəsidir, həm böyüklük, həm də istiqamətə malik olan kəmiyyətləri kəmiyyətləndirmək və manipulyasiya etmək üçün bir yol təqdim edir. Toplama, çıxma, nöqtə hasili və çarpaz hasil kimi əməliyyatlar vasitəsilə vektorlar real dünya hadisələrini modelləşdirə və müxtəlif sahələrdə mürəkkəb problemləri həll edə bilər. Vektorların əsas prinsiplərini başa düşməklə siz fizika, mühəndislik, kompüter elmləri və digər fənlər üzrə daha təkmil tədqiqatlar üçün zəmin yarada bilərsiniz. Vektorlarla təqdim edilən həndəsi intuisiya və cəbri əməliyyatlar vektor fəzaları və xətti çevrilmələr kimi daha mürəkkəb anlayışlara yol açır ki, bunlar ali riyaziyyatda və eyni zamanda praktik tətbiqlərdə mühüm rol oynayır.
