এই পাঠে, আমরা ইউক্লিডীয় ভেক্টরের জগত অন্বেষণ করব। ভেক্টর হল গণিত এবং জ্যামিতির একটি মৌলিক ধারণা, যা পরিমাপ এবং দিকনির্দেশ উভয়ই আছে এমন পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়। পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল, কম্পিউটার গ্রাফিক্স এবং আরও অনেক কিছুতে বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনের জন্য ভেক্টর বোঝা গুরুত্বপূর্ণ।
একটি ইউক্লিডীয় ভেক্টর , প্রায়ই একটি ভেক্টর বলা হয়, একটি জ্যামিতিক বস্তু যার মাত্রা (বা দৈর্ঘ্য) এবং দিক আছে। ভেক্টরগুলিকে একাধিক মাত্রায় উপস্থাপন করা যেতে পারে, তবে সরলতার জন্য, আমরা একটি দ্বি-মাত্রিক স্থানের ভেক্টর দিয়ে শুরু করব। একটি ভেক্টর সাধারণত একটি তীর হিসাবে আঁকা হয়, যেখানে তীরের দৈর্ঘ্য ভেক্টরের মাত্রার প্রতিনিধিত্ব করে এবং তীরের দিকটি ভেক্টরের দিক নির্দেশ করে।
ভেক্টর বিভিন্ন উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে। একটি সাধারণ উপস্থাপনা স্থানাঙ্কের আকারে, যেমন \( \vec{v} = (x, y) \) , যেখানে \(x\) এবং \(y\) অনুভূমিক এবং উল্লম্ব ভেক্টরের উপাদান। নির্দেশাবলী, যথাক্রমে। ভেক্টর প্রতিনিধিত্ব করার আরেকটি উপায় হল স্বরলিপি ব্যবহার করা \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , যেখানে \(\hat{i}\) এবং \(\hat{j}\) যথাক্রমে অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দিকের একক ভেক্টর।
একটি ভেক্টরের মাত্রা \(\vec{v} = (x, y)\) পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) একটি ভেক্টরের দিকটি প্রায়শই ধনাত্মক x-অক্ষের সাহায্যে তৈরি কোণ \(\theta\) ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়, যা ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে নির্ধারণ করা যেতে পারে, বিশেষ করে স্পর্শক ফাংশনের মাধ্যমে: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) ।
যোগ , বিয়োগ এবং স্কেলার গুণ সহ ভেক্টরের সাহায্যে করা যেতে পারে এমন বেশ কয়েকটি মৌলিক ক্রিয়াকলাপ রয়েছে।
\(\vec{a}\) এবং \(\vec{b}\) দুটি ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট (বা স্কেলার প্রোডাক্ট), যাকে \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, একটি স্কেলার (সংখ্যা) পাওয়ার জন্য ভেক্টরকে গুণ করার একটি উপায়। ডট পণ্যটিকে \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে \(\theta\) হল \(\vec{a}\) এবং \(\vec{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ। যদি ভেক্টরগুলি তাদের উপাদান দ্বারা দেওয়া হয়, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) এবং \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , বিন্দু গুণফলকে \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) ডট পণ্যটি দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ধারণ করতে বা একটি ভেক্টরকে অন্যটিতে প্রজেক্ট করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
ভেক্টরের অভিক্ষেপ \(\vec{a}\) ভেক্টরের উপর \(\vec{b}\) হল একটি ভেক্টর যা \(\vec{a}\) এর দিক থেকে \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) এর উপাদানকে প্রতিনিধিত্ব করে \(\vec{b}\) । প্রজেকশনটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , যা বিন্দু পণ্য অনুপাত অনুযায়ী \(\vec{b}\) স্কেল করে।
ত্রিমাত্রিক স্পেসে, ক্রস প্রোডাক্ট নামে আরেকটি অপারেশন ব্যবহার করা হয় অন্য দুটি ভেক্টরের সাথে লম্ব ভেক্টর খুঁজে বের করতে। যদি \(\vec{a}\) এবং \(\vec{b}\) 3D স্থানের ভেক্টর হয়, তাহলে ক্রস পণ্য \(\vec{a} \times \vec{b}\) একটি ভেক্টর লম্ব। উভয় \(\vec{a}\) এবং \(\vec{b}\) যার মাত্রা \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , এবং \(\theta\) হল \(\vec{a}\) এবং \(\vec{b}\) মধ্যেকার কোণ। এই ক্রিয়াকলাপটি পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশলে ভূপৃষ্ঠে স্বাভাবিক ভেক্টর খুঁজে বের করতে বা টর্ক গণনা করার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
ভেক্টর অনেক ক্ষেত্রে অ্যাপ্লিকেশন খুঁজে পায়:
ভেক্টর সংযোজন কল্পনা করতে, দুটি ভেক্টর \(\vec{a} = (3, 2)\) এবং \(\vec{b} = (2, 1)\) বিবেচনা করুন। এই ভেক্টর যোগ করতে, আঁকুন \(\vec{a}\) উৎপত্তি (0, 0) থেকে শুরু করে এবং তারপর \(\vec{b}\) আঁকুন \(\vec{a}\) এর মাথা থেকে শুরু করে। . ফলস্বরূপ ভেক্টর \(\vec{r}\) উৎপত্তি থেকে \(\vec{b}\) এর মাথায় যায় যা \(\vec{a}\) এর মাথায় স্থাপন করা হয়েছিল। \(\vec{r}\) এর স্থানাঙ্কগুলি হিসাবে গণনা করা যেতে পারে \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) ।
ইউক্লিডীয় ভেক্টরগুলি গণিত এবং জ্যামিতির একটি অপরিহার্য অংশ, যা পরিমাপ এবং দিকনির্দেশ উভয়ই আছে এমন পরিমাণগুলিকে পরিমাপ এবং ম্যানিপুলেট করার একটি উপায় প্রদান করে। যোগ, বিয়োগ, বিন্দু পণ্য এবং ক্রস পণ্যের মতো ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে, ভেক্টর বাস্তব-বিশ্বের ঘটনাকে মডেল করতে পারে এবং বিভিন্ন ক্ষেত্রে জটিল সমস্যার সমাধান করতে পারে। ভেক্টরের মৌলিক নীতিগুলি বোঝার মাধ্যমে, আপনি পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং অন্যান্য শাখায় আরও উন্নত অধ্যয়নের জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করতে পারেন। ভেক্টরের সাথে প্রবর্তিত জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি এবং বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপগুলি ভেক্টর স্পেস এবং রৈখিক রূপান্তরের মতো জটিল ধারণাগুলির জন্য পথ প্রশস্ত করে, যা উচ্চতর গণিত এবং ব্যবহারিক প্রয়োগগুলিতে একইভাবে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
