In dieser Lektion erkunden wir die Welt der euklidischen Vektoren. Vektoren sind ein grundlegendes Konzept in Mathematik und Geometrie und werden verwendet, um Größen darzustellen, die sowohl Betrag als auch Richtung haben. Das Verständnis von Vektoren ist für verschiedene Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen, Computergrafik und mehr von entscheidender Bedeutung.
Ein euklidischer Vektor , oft einfach Vektor genannt, ist ein geometrisches Objekt mit Größe (oder Länge) und Richtung. Vektoren können in mehreren Dimensionen dargestellt werden, aber der Einfachheit halber beginnen wir mit Vektoren im zweidimensionalen Raum. Ein Vektor wird normalerweise als Pfeil gezeichnet, wobei die Länge des Pfeils die Größe des Vektors darstellt und die Richtung des Pfeils die Richtung des Vektors angibt.
Vektoren können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Eine gängige Darstellung ist die in Form von Koordinaten, z. B. \( \vec{v} = (x, y) \) , wobei \(x\) und \(y\) Komponenten des Vektors in horizontaler bzw. vertikaler Richtung sind. Eine andere Möglichkeit zur Darstellung von Vektoren ist die Notation \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , wobei \(\hat{i}\) und \(\hat{j}\) Einheitsvektoren in horizontaler bzw. vertikaler Richtung sind.
Der Betrag eines Vektors \(\vec{v} = (x, y)\) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Die Richtung eines Vektors wird oft mit dem Winkel \(\theta\) beschrieben, den er mit der positiven x-Achse bildet. Dieser lässt sich mithilfe der Trigonometrie bestimmen, genauer gesagt mit der Tangensfunktion: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Es gibt mehrere grundlegende Operationen, die mit Vektoren durchgeführt werden können, darunter Addition , Subtraktion und Skalarmultiplikation .
Das Skalarprodukt (oder Skalarprodukt) zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) , bezeichnet als \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , ist eine Möglichkeit, Vektoren zu multiplizieren, um einen Skalar (eine Zahl) zu erhalten. Das Skalarprodukt ist definiert als \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , wobei \(\theta\) der Winkel zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist. Wenn die Vektoren durch ihre Komponenten gegeben sind, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) und \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , kann das Skalarprodukt wie folgt berechnet werden: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Das Skalarprodukt kann verwendet werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen oder einen Vektor auf einen anderen zu projizieren.
Die Projektion des Vektors \(\vec{a}\) auf den Vektor \(\vec{b}\) ist ein Vektor, der die Komponente von \(\vec{a}\) in Richtung von \(\vec{b}\) darstellt. Die Projektion ergibt sich aus der Formel: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , die \(\vec{b}\) entsprechend dem Skalarproduktverhältnis skaliert.
Im dreidimensionalen Raum wird eine andere Operation namens Kreuzprodukt verwendet, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu zwei anderen Vektoren steht. Wenn \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) Vektoren im dreidimensionalen Raum sind, ist das Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\) ein Vektor, der senkrecht zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht und dessen Betrag \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) ist, und \(\theta\) ist der Winkel zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) . Diese Operation ist in der Physik und im Ingenieurwesen entscheidend, um Normalvektoren zu Oberflächen zu finden oder das Drehmoment zu berechnen.
Vektoren finden Anwendung in zahlreichen Bereichen:
Um die Vektoraddition zu visualisieren, betrachten Sie zwei Vektoren \(\vec{a} = (3, 2)\) und \(\vec{b} = (2, 1)\) . Um diese Vektoren zu addieren, zeichnen Sie \(\vec{a}\) ausgehend vom Ursprung (0, 0) und zeichnen Sie dann \(\vec{b}\) ausgehend vom Kopf von \(\vec{a}\) . Der resultierende Vektor \(\vec{r}\) verläuft vom Ursprung zum Kopf von \(\vec{b}\) , der am Kopf von \(\vec{a}\) platziert wurde. Die Koordinaten von \(\vec{r}\) können wie folgt berechnet werden: \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Euklidische Vektoren sind ein wesentlicher Bestandteil der Mathematik und Geometrie und bieten eine Möglichkeit, Größen mit sowohl Betrag als auch Richtung zu quantifizieren und zu manipulieren. Durch Operationen wie Addition, Subtraktion, Skalarprodukt und Kreuzprodukt können Vektoren reale Phänomene modellieren und komplexe Probleme in verschiedenen Bereichen lösen. Durch das Verständnis der Grundprinzipien von Vektoren können Sie eine Grundlage für weiterführende Studien in Physik, Ingenieurwesen, Informatik und anderen Disziplinen schaffen. Die mit Vektoren eingeführte geometrische Intuition und die algebraischen Operationen ebnen den Weg für komplexere Konzepte wie Vektorräume und lineare Transformationen, die sowohl in der höheren Mathematik als auch in praktischen Anwendungen eine entscheidende Rolle spielen.
