در این درس به بررسی دنیای بردارهای اقلیدسی می پردازیم. بردارها یک مفهوم اساسی در ریاضیات و هندسه هستند که برای نمایش کمیت هایی استفاده می شود که هم قدر و هم جهت دارند. درک بردارها برای کاربردهای مختلف در فیزیک، مهندسی، گرافیک کامپیوتری و غیره حیاتی است.
بردار اقلیدسی ، که اغلب به سادگی بردار نامیده می شود، یک جسم هندسی است که دارای قدر (یا طول) و جهت است. بردارها را می توان در ابعاد چندگانه نشان داد، اما برای سادگی، ما با بردارها در یک فضای دو بعدی شروع می کنیم. یک بردار معمولاً به صورت یک فلش ترسیم می شود، جایی که طول فلش نشان دهنده بزرگی بردار است و جهت فلش جهت بردار را نشان می دهد.
بردارها را می توان به روش های مختلفی نشان داد. یک نمایش رایج به شکل مختصات است، مانند \( \vec{v} = (x, y) \) که \(x\) و \(y\) اجزای بردار در افقی و عمودی هستند. جهت ها، به ترتیب. روش دیگر برای نمایش بردارها استفاده از نماد \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) است که در آن \(\hat{i}\) و \(\hat{j}\) به ترتیب بردارهای واحد در جهت افقی و عمودی هستند.
بزرگی یک بردار \(\vec{v} = (x, y)\) می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کرد: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . جهت یک بردار اغلب با استفاده از زاویه \(\theta\) که با محور x مثبت ایجاد می کند توصیف می شود که می تواند با استفاده از مثلثات مشخص شود، به ویژه از طریق تابع مماس: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
چندین عملیات اساسی وجود دارد که می توان با بردارها انجام داد، از جمله جمع ، تفریق و ضرب اسکالر .
حاصل ضرب نقطه‌ای (یا حاصل ضرب اسکالر) دو بردار \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) که با \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) مشخص می‌شود، روشی برای ضرب بردارها برای به دست آوردن اسکالر (عدد) است. محصول نقطه‌ای به صورت \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) تعریف می‌شود، جایی که \(\theta\) زاویه بین \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) است. اگر بردارها با مؤلفه‌هایشان داده شوند، \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) و \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) ، حاصل ضرب نقطه‌ای را می‌توان به صورت \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) محاسبه کرد. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . حاصل ضرب نقطه ای را می توان برای تعیین زاویه بین دو بردار یا نمایش یک بردار بر روی دیگری استفاده کرد.
طرح ریزی بردار \(\vec{a}\) روی بردار \(\vec{b}\) برداری است که مؤلفه \(\vec{a}\) را در جهت \(\vec{b}\) . طرح ریزی با فرمول ارائه می شود: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) که \(\vec{b}\) را با توجه به نسبت محصول نقطه‌ای مقیاس می‌کند.
در فضای سه بعدی، عملیات دیگری به نام ضرب متقاطع برای یافتن بردار عمود بر دو بردار دیگر استفاده می شود. اگر \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) بردارهایی در فضای سه بعدی باشند، ضرب ضربدری \(\vec{a} \times \vec{b}\) بردار عمود بر هم \(\vec{a}\) و هم \(\vec{b}\) که قدر \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) و \(\theta\) زاویه بین \(\vec{a}\) و \(\vec{b}\) است. این عملیات در فیزیک و مهندسی برای یافتن بردارهای عادی به سطوح یا در محاسبه گشتاور بسیار مهم است.
بردارها در زمینه های متعدد کاربرد پیدا می کنند:
برای تجسم جمع بردار، دو بردار \(\vec{a} = (3, 2)\) و \(\vec{b} = (2, 1)\) را در نظر بگیرید. برای افزودن این بردارها، \(\vec{a}\) را با شروع از مبدا (0, 0) بکشید و سپس \(\vec{b}\) را از سر \(\vec{a}\) بکشید. . بردار حاصل \(\vec{r}\) از مبدا به سر \(\vec{b}\) می رود که در سر \(\vec{a}\) قرار گرفته است. مختصات \(\vec{r}\) می توان به صورت \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) محاسبه کرد \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
بردارهای اقلیدسی بخش مهمی از ریاضیات و هندسه هستند و راهی را برای کمی سازی و دستکاری کمیت هایی که هم قدر و هم جهت دارند ارائه می دهند. بردارها از طریق عملیاتی مانند جمع، تفریق، حاصل ضرب نقطه‌ای و ضربدری می‌توانند پدیده‌های دنیای واقعی را مدل‌سازی کنند و مسائل پیچیده را در زمینه‌های مختلف حل کنند. با درک اصول اولیه بردارها، می توانید پایه ای برای مطالعات پیشرفته تر در فیزیک، مهندسی، علوم کامپیوتر و سایر رشته ها ایجاد کنید. شهود هندسی و عملیات جبری معرفی شده با بردارها راه را برای مفاهیم پیچیده تری مانند فضاهای برداری و تبدیل های خطی هموار می کند که نقش مهمی در ریاضیات بالاتر و کاربردهای عملی دارند.
