Dans cette leçon, nous explorerons le monde des vecteurs euclidiens. Les vecteurs sont un concept fondamental en mathématiques et en géométrie, utilisés pour représenter des quantités qui ont à la fois une ampleur et une direction. Comprendre les vecteurs est essentiel pour diverses applications en physique, en ingénierie, en infographie, etc.
Un vecteur euclidien , souvent simplement appelé vecteur, est un objet géométrique qui a une ampleur (ou une longueur) et une direction. Les vecteurs peuvent être représentés dans plusieurs dimensions, mais par souci de simplicité, nous commencerons par les vecteurs dans un espace à deux dimensions. Un vecteur est généralement dessiné sous la forme d'une flèche, où la longueur de la flèche représente l'ampleur du vecteur et la direction de la flèche indique la direction du vecteur.
Les vecteurs peuvent être représentés de plusieurs manières. Une représentation courante se présente sous la forme de coordonnées, telles que \( \vec{v} = (x, y) \) , où \(x\) et \(y\) sont des composantes du vecteur dans les directions horizontale et verticale. directions, respectivement. Une autre façon de représenter les vecteurs consiste à utiliser la notation \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , où \(\hat{i}\) et \(\hat{j}\) sont des vecteurs unitaires dans les directions horizontale et verticale, respectivement.
La norme d'un vecteur \(\vec{v} = (x, y)\) peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore : \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . La direction d'un vecteur est souvent décrite à l'aide de l'angle \(\theta\) qu'il fait avec l'axe des x positif, qui peut être déterminé par trigonométrie, notamment via la fonction tangente : \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Plusieurs opérations fondamentales peuvent être effectuées avec des vecteurs, notamment l'addition , la soustraction et la multiplication scalaire .
Le produit scalaire (ou produit scalaire) de deux vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) , noté \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , est une façon de multiplier des vecteurs pour obtenir un scalaire (nombre). Le produit scalaire est défini comme \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) . Si les vecteurs sont donnés par leurs composantes, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) et \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , le produit scalaire peut être calculé comme \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Le produit scalaire peut être utilisé pour déterminer l’angle entre deux vecteurs ou pour projeter un vecteur sur un autre.
La projection du vecteur \(\vec{a}\) sur le vecteur \(\vec{b}\) est un vecteur qui représente la composante de \(\vec{a}\) dans la direction de \(\vec{b}\) . La projection est donnée par la formule : \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , qui met à l'échelle \(\vec{b}\) en fonction du rapport du produit scalaire.
Dans l’espace tridimensionnel, une autre opération appelée produit vectoriel est utilisée pour trouver un vecteur perpendiculaire à deux autres vecteurs. Si \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont des vecteurs dans l'espace 3D, le produit vectoriel \(\vec{a} \times \vec{b}\) est un vecteur perpendiculaire à à la \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) dont la magnitude est \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , et \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) . Cette opération est cruciale en physique et en ingénierie pour trouver des vecteurs normaux aux surfaces ou pour calculer le couple.
Les vecteurs trouvent des applications dans de nombreux domaines :
Pour visualiser l'addition de vecteurs, considérons deux vecteurs \(\vec{a} = (3, 2)\) et \(\vec{b} = (2, 1)\) . Pour ajouter ces vecteurs, dessinez \(\vec{a}\) en partant de l'origine (0, 0) puis dessinez \(\vec{b}\) en partant de la tête de \(\vec{a}\) . Le vecteur résultant \(\vec{r}\) va de l'origine à la tête de \(\vec{b}\) qui a été placée en tête de \(\vec{a}\) . Les coordonnées de \(\vec{r}\) peuvent être calculées comme \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Les vecteurs euclidiens constituent un élément essentiel des mathématiques et de la géométrie, car ils permettent de quantifier et de manipuler des quantités qui ont à la fois une ampleur et une direction. Grâce à des opérations telles que l'addition, la soustraction, le produit scalaire et le produit croisé, les vecteurs peuvent modéliser des phénomènes du monde réel et résoudre des problèmes complexes dans divers domaines. En comprenant les principes de base des vecteurs, vous pouvez jeter les bases d’études plus avancées en physique, en ingénierie, en informatique et dans d’autres disciplines. L'intuition géométrique et les opérations algébriques introduites avec les vecteurs ouvrent la voie à des concepts plus complexes tels que les espaces vectoriels et les transformations linéaires, qui jouent un rôle crucial aussi bien dans les mathématiques supérieures que dans les applications pratiques.
