इस पाठ में, हम यूक्लिडियन सदिशों की दुनिया का पता लगाएंगे। सदिश गणित और ज्यामिति में एक मौलिक अवधारणा है, जिसका उपयोग उन मात्राओं को दर्शाने के लिए किया जाता है जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और अन्य में विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए सदिशों को समझना महत्वपूर्ण है।
यूक्लिडियन वेक्टर , जिसे अक्सर केवल वेक्टर कहा जाता है, एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें परिमाण (या लंबाई) और दिशा होती है। वेक्टर को कई आयामों में दर्शाया जा सकता है, लेकिन सरलता के लिए, हम दो-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर से शुरू करेंगे। एक वेक्टर को आम तौर पर एक तीर के रूप में खींचा जाता है, जहाँ तीर की लंबाई वेक्टर के परिमाण को दर्शाती है, और तीर की दिशा वेक्टर की दिशा दिखाती है।
सदिशों को कई तरीकों से दर्शाया जा सकता है। एक सामान्य प्रतिनिधित्व निर्देशांक के रूप में होता है, जैसे \( \vec{v} = (x, y) \) , जहाँ \(x\) और \(y\) क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में सदिश के घटक हैं। सदिशों को दर्शाने का दूसरा तरीका संकेतन \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) उपयोग करना है, जहाँ \(\hat{i}\) और \(\hat{j}\) क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में इकाई सदिश हैं।
एक सदिश \(\vec{v} = (x, y)\) का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना किया जा सकता है: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) एक सदिश की दिशा को अक्सर कोण \(\theta\) उपयोग करके वर्णित किया जाता है जो यह सकारात्मक x-अक्ष के साथ बनाता है, जिसे त्रिकोणमिति का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, विशेष रूप से स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के माध्यम से: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\)
कई मौलिक संक्रियाएं हैं जो सदिशों के साथ की जा सकती हैं, जिनमें जोड़ , घटाव और अदिश गुणन शामिल हैं।
दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) का डॉट उत्पाद (या अदिश उत्पाद), \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) के रूप में दर्शाया जाता है, एक अदिश (संख्या) प्राप्त करने के लिए सदिशों को गुणा करने का एक तरीका है। डॉट उत्पाद को \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ \(\theta\) \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है। यदि सदिश उनके घटकों \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) और \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) द्वारा दिए गए हैं, तो डॉट उत्पाद की गणना \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) के रूप में की जा सकती है। डॉट उत्पाद का उपयोग दो सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने या एक सदिश को दूसरे पर प्रक्षेपित करने के लिए किया जा सकता है।
वेक्टर \(\vec{a}\) का वेक्टर \(\vec{b}\) पर प्रक्षेपण एक वेक्टर है जो \(\vec{a}\) ) के घटक को \(\vec{b}\) की दिशा में दर्शाता है। प्रक्षेपण सूत्र द्वारा दिया गया है: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , जो डॉट उत्पाद अनुपात के अनुसार \(\vec{b}\) को मापता है।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, क्रॉस प्रोडक्ट नामक एक अन्य ऑपरेशन का उपयोग दो अन्य वैक्टरों के लंबवत वेक्टर को खोजने के लिए किया जाता है। यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) 3D स्पेस में वेक्टर हैं, तो क्रॉस प्रोडक्ट \(\vec{a} \times \vec{b}\) एक वेक्टर है जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दोनों के लंबवत है जिसका परिमाण \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , और \(\theta\) \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है। सतहों के लिए सामान्य वैक्टर खोजने या टॉर्क की गणना करने के लिए भौतिकी और इंजीनियरिंग में यह ऑपरेशन महत्वपूर्ण है।
वेक्टर का उपयोग अनेक क्षेत्रों में किया जाता है:
वेक्टर जोड़ को देखने के लिए, दो वेक्टर \(\vec{a} = (3, 2)\) और \(\vec{b} = (2, 1)\) पर विचार करें। इन वेक्टरों को जोड़ने के लिए, मूल (0, 0) से शुरू करते हुए \(\vec{a}\) बनाएं और फिर \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) b}\) बनाएं। परिणामी वेक्टर \(\vec{r}\) मूल से \(\vec{b}\) के शीर्ष तक जाता है जिसे \(\vec{a}\) के शीर्ष पर रखा गया था। \(\vec{r}\) के निर्देशांक की गणना \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) रूप में की जा सकती है।
यूक्लिडियन सदिश गणित और ज्यामिति का एक अनिवार्य हिस्सा हैं, जो परिमाण और दिशा दोनों वाली मात्राओं को मापने और हेरफेर करने का एक तरीका प्रदान करते हैं। जोड़, घटाव, डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद जैसे संचालन के माध्यम से, सदिश वास्तविक दुनिया की घटनाओं को मॉडल कर सकते हैं और विभिन्न क्षेत्रों में जटिल समस्याओं को हल कर सकते हैं। सदिशों के मूल सिद्धांतों को समझकर, आप भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और अन्य विषयों में अधिक उन्नत अध्ययन के लिए एक आधार तैयार कर सकते हैं। सदिशों के साथ पेश किए गए ज्यामितीय अंतर्ज्ञान और बीजगणितीय संचालन सदिश स्थानों और रैखिक परिवर्तनों जैसी अधिक जटिल अवधारणाओं के लिए मार्ग प्रशस्त करते हैं, जो उच्च गणित और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में समान रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
