U ovoj lekciji ćemo istražiti svijet euklidskih vektora. Vektori su temeljni koncept u matematici i geometriji, koriste se za predstavljanje veličina koje imaju i veličinu i smjer. Razumijevanje vektora ključno je za različite primjene u fizici, inženjerstvu, računalnoj grafici itd.
Euklidski vektor , koji se često jednostavno naziva vektor, je geometrijski objekt koji ima veličinu (ili duljinu) i smjer. Vektori se mogu prikazati u više dimenzija, ali radi jednostavnosti, počet ćemo s vektorima u dvodimenzionalnom prostoru. Vektor se obično crta kao strelica, pri čemu duljina strelice predstavlja veličinu vektora, a smjer strelice pokazuje smjer vektora.
Vektori se mogu prikazati na nekoliko načina. Jedan uobičajeni prikaz je u obliku koordinata, kao što je \( \vec{v} = (x, y) \) , gdje su \(x\) i \(y\) komponente vektora u vodoravnom i okomitom smjerovi, odnosno. Drugi način predstavljanja vektora je korištenje oznake \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , gdje \(\hat{i}\) i \(\hat{j}\) su jedinični vektori u vodoravnom i okomitom smjeru.
Veličina vektora \(\vec{v} = (x, y)\) može se izračunati pomoću Pitagorinog teorema: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Smjer vektora često se opisuje pomoću kuta \(\theta\) koji čini s pozitivnom x-osi, koji se može odrediti pomoću trigonometrije, posebno preko funkcije tangensa: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Postoji nekoliko temeljnih operacija koje se mogu izvesti s vektorima, uključujući zbrajanje , oduzimanje i skalarno množenje .
Točkasti umnožak (ili skalarni umnožak) dva vektora \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) , označen kao \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , je način množenja vektora da se dobije skalar (broj). Točkasti umnožak je definiran kao \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , gdje \(\theta\) je kut između \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) . Ako su vektori zadani svojim komponentama, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) i \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , točkasti umnožak može se izračunati kao \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Točkasti umnožak može se koristiti za određivanje kuta između dva vektora ili za projiciranje jednog vektora na drugi.
Projekcija vektora \(\vec{a}\) na vektor \(\vec{b}\) je vektor koji predstavlja komponentu \(\vec{a}\) u smjeru \(\vec{b}\) . Projekcija je dana formulom: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , koji skalira \(\vec{b}\) prema omjeru točkastog produkta.
U trodimenzionalnom prostoru, druga operacija koja se naziva križni produkt koristi se za pronalaženje vektora okomitog na druga dva vektora. Ako su \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) vektori u 3D prostoru, križni produkt \(\vec{a} \times \vec{b}\) je vektor okomit na oba \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) čija je veličina \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , a \(\theta\) je kut između \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) . Ova je operacija ključna u fizici i inženjerstvu za pronalaženje normalnih vektora na površine ili u izračunavanju zakretnog momenta.
Vektori nalaze primjenu u brojnim područjima:
Za vizualizaciju zbrajanja vektora, razmotrite dva vektora \(\vec{a} = (3, 2)\) i \(\vec{b} = (2, 1)\) . Da biste dodali ove vektore, nacrtajte \(\vec{a}\) počevši od ishodišta (0, 0), a zatim nacrtajte \(\vec{b}\) počevši od glave \(\vec{a}\) . Rezultantni vektor \(\vec{r}\) ide od ishodišta do glave \(\vec{b}\) koja je postavljena na početku \(\vec{a}\) . Koordinate \(\vec{r}\) mogu se izračunati kao \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Euklidski vektori bitan su dio matematike i geometrije, omogućujući način kvantificiranja i manipuliranja veličinama koje imaju i veličinu i smjer. Kroz operacije kao što su zbrajanje, oduzimanje, točkasti umnožak i umnožak, vektori mogu modelirati fenomene stvarnog svijeta i rješavati složene probleme u raznim područjima. Razumijevanjem osnovnih principa vektora, možete izgraditi temelje za naprednije studije u fizici, inženjerstvu, informatici i drugim disciplinama. Geometrijska intuicija i algebarske operacije uvedene s vektorima utiru put složenijim konceptima poput vektorskih prostora i linearnih transformacija, koji igraju ključnu ulogu u višoj matematici i praktičnim primjenama.
