Dalam pelajaran ini, kita akan menjelajahi dunia vektor Euclidean. Vektor adalah konsep dasar dalam matematika dan geometri, digunakan untuk menyatakan besaran yang memiliki besaran dan arah. Memahami vektor sangat penting untuk berbagai aplikasi dalam fisika, teknik, grafik komputer, dan banyak lagi.
Vektor Euclidean , sering juga disebut vektor, adalah suatu benda geometri yang mempunyai besar (atau panjang) dan arah. Vektor dapat direpresentasikan dalam berbagai dimensi, namun untuk mempermudah, kita akan mulai dengan vektor dalam ruang dua dimensi. Suatu vektor biasanya digambarkan sebagai anak panah, dimana panjang anak panah menyatakan besarnya vektor, dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.
Vektor dapat direpresentasikan dalam beberapa cara. Salah satu representasi yang umum adalah dalam bentuk koordinat, seperti \( \vec{v} = (x, y) \) , dimana \(x\) dan \(y\) merupakan komponen vektor pada bidang horizontal dan vertikal arah, masing-masing. Cara lain untuk menyatakan vektor adalah menggunakan notasi \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , di mana \(\hat{i}\) dan \(\hat{j}\) masing-masing adalah vektor satuan dalam arah horizontal dan vertikal.
Besaran suatu vektor \(\vec{v} = (x, y)\) dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Arah suatu vektor sering digambarkan menggunakan sudut \(\theta\) yang dibuat dengan sumbu x positif, yang dapat ditentukan menggunakan trigonometri, khususnya melalui fungsi tangen: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Ada beberapa operasi dasar yang dapat dilakukan dengan vektor, antara lain penjumlahan , pengurangan , dan perkalian skalar .
Hasil kali titik (atau hasil kali skalar) dari dua vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) , dinotasikan sebagai \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , adalah cara mengalikan vektor untuk mendapatkan skalar (bilangan). Perkalian titik didefinisikan sebagai \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , dimana \(\theta\) adalah sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) . Jika vektor diberikan oleh komponennya, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) dan \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , perkalian titik dapat dihitung sebagai \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Perkalian titik dapat digunakan untuk menentukan sudut antara dua vektor atau untuk memproyeksikan satu vektor ke vektor lainnya.
Proyeksi vektor \(\vec{a}\) pada vektor \(\vec{b}\) adalah vektor yang mewakili komponen \(\vec{a}\) pada arah \(\vec{b}\) . Proyeksi diberikan dengan rumus: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , yang berskala \(\vec{b}\) sesuai dengan rasio perkalian titik.
Dalam ruang tiga dimensi, operasi lain yang disebut perkalian silang digunakan untuk mencari vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor lainnya. Jika \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah vektor dalam ruang 3D, hasil kali silang \(\vec{a} \times \vec{b}\) adalah vektor yang tegak lurus terhadap \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) yang besarnya \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , dan \(\theta\) adalah sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) . Operasi ini sangat penting dalam fisika dan teknik untuk menemukan vektor normal pada permukaan atau dalam menghitung torsi.
Vektor dapat diterapkan di berbagai bidang:
Untuk memvisualisasikan penjumlahan vektor, pertimbangkan dua vektor \(\vec{a} = (3, 2)\) dan \(\vec{b} = (2, 1)\) . Untuk menjumlahkan vektor-vektor tersebut, gambarlah \(\vec{a}\) mulai dari titik asal (0, 0) lalu gambarlah \(\vec{b}\) mulai dari kepala \(\vec{a}\) . Vektor resultan \(\vec{r}\) bergerak dari titik asal ke kepala \(\vec{b}\) yang ditempatkan di kepala \(\vec{a}\) . Koordinat \(\vec{r}\) dapat dihitung sebagai \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Vektor Euclidean adalah bagian penting dari matematika dan geometri, menyediakan cara untuk mengukur dan memanipulasi besaran yang memiliki besaran dan arah. Melalui operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian titik, dan perkalian silang, vektor dapat memodelkan fenomena dunia nyata dan memecahkan masalah kompleks di berbagai bidang. Dengan memahami prinsip dasar vektor, Anda dapat membangun landasan untuk studi lebih lanjut di bidang fisika, teknik, ilmu komputer, dan disiplin ilmu lainnya. Intuisi geometri dan operasi aljabar yang diperkenalkan dengan vektor membuka jalan bagi konsep yang lebih kompleks seperti ruang vektor dan transformasi linier, yang memainkan peran penting dalam matematika tingkat tinggi dan aplikasi praktis.
