このレッスンでは、ユークリッド ベクトルの世界を探ります。ベクトルは数学と幾何学の基本的な概念であり、大きさと方向の両方を持つ量を表すために使用されます。ベクトルを理解することは、物理学、工学、コンピューター グラフィックスなどのさまざまなアプリケーションにとって重要です。
ユークリッド ベクトル(単にベクトルと呼ばれることが多い) は、大きさ (または長さ) と方向を持つ幾何学的オブジェクトです。ベクトルは複数の次元で表現できますが、簡単にするために、2 次元空間のベクトルから始めます。ベクトルは通常、矢印として描かれ、矢印の長さはベクトルの大きさを表し、矢印の方向はベクトルの方向を示します。
ベクトルはいくつかの方法で表現できます。一般的な表現の 1 つは、 \( \vec{v} = (x, y) \)などの座標形式です。ここで、 \(x\)と\(y\)それぞれベクトルの水平方向と垂直方向の成分です。ベクトルを表すもう 1 つの方法は、表記法\( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \)使用することです。ここで、 \(\hat{i}\)と\(\hat{j}\) 、それぞれ水平方向と垂直方向の単位ベクトルです。
ベクトル\(\vec{v} = (x, y)\)の大きさは、ピタゴラスの定理を使用して計算できます: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) 。ベクトルの方向は、正の x 軸となす角度\(\theta\)を使用して表されることが多く、これは三角法、具体的には正接関数\(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\)使用して決定できます。
ベクトルでは、加算、減算、スカラー乗算など、いくつかの基本的な演算を実行できます。
2 つのベクトル\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)のドット積(またはスカラー積) は、 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)と表記され、ベクトルを乗算してスカラー (数値) を取得する方法です。ドット積は\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \)ここで、 \(\theta\) \(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)の間の角度です。ベクトルが成分によって与えられている場合、 \(\vec{a} = (a_x, a_y)\)および\(\vec{b} = (b_x, b_y)\) 、ドット積は\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \)として計算できます。ドット積は、2 つのベクトル間の角度を決定したり、1 つのベクトルを別のベクトルに投影したりするために使用できます。
ベクトル\(\vec{a}\)からベクトル\(\vec{b}\)への投影は、 \ \(\vec{a}\) vec{ \(\vec{b}\)方向の成分を表すベクトルです。投影は式\( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \)ドット積比に応じて\(\vec{b}\)が拡大縮小されます。
3 次元空間では、外積と呼ばれる別の演算を使用して、他の 2 つのベクトルに垂直なベクトルを見つけます。 \(\vec{a}\)と\(\vec{b}\) 3 次元空間のベクトルである場合、外積\(\vec{a} \times \vec{b}\)は\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)の両方に垂直なベクトルであり、その大きさは\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) 、 \(\theta\) \(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)の間の角度です。この演算は、物理学や工学において、表面の法線ベクトルを見つけたり、トルクを計算したりするために重要です。
ベクトルはさまざまな分野で応用されています。
ベクトルの加算を視覚化するために、2 つのベクトル\(\vec{a} = (3, 2)\)と\(\vec{b} = (2, 1)\)を考えます。これらのベクトルを加算するには、原点 (0, 0) から \ \(\vec{b}\) \(\vec{a}\)を描き、次に \( \(\vec{a}\) {b}\) を描きます。結果のベクトル\(\vec{r}\)は、原点から\(\vec{b}\)の先頭に配置された\(\vec{a}\)の先頭に向かいます。 \(\vec{r}\)の座標は\(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) 。
ユークリッド ベクトルは数学と幾何学の重要な部分であり、大きさと方向の両方を持つ量を定量化および操作する方法を提供します。ベクトルは、加算、減算、ドット積、クロス積などの演算を通じて、現実世界の現象をモデル化し、さまざまな分野の複雑な問題を解決できます。ベクトルの基本原理を理解することで、物理学、工学、コンピューター サイエンス、その他の分野でのより高度な研究の基礎を築くことができます。ベクトルで導入された幾何学的直感と代数演算は、ベクトル空間や線形変換などのより複雑な概念への道を開き、高等数学と実際のアプリケーションの両方で重要な役割を果たします。
