Во оваа лекција ќе го истражиме светот на Евклидските вектори. Векторите се основен концепт во математиката и геометријата, кои се користат за прикажување на величини кои имаат и големина и насока. Разбирањето на векторите е критично за различни апликации во физиката, инженерството, компјутерската графика и многу повеќе.
Евклидов вектор , честопати едноставно наречен вектор, е геометриски објект кој има големина (или должина) и насока. Векторите можат да бидат претставени во повеќе димензии, но за едноставност, ќе започнеме со вектори во дводимензионален простор. Векторот обично се црта како стрелка, каде што должината на стрелката ја претставува големината на векторот, а насоката на стрелката ја покажува насоката на векторот.
Векторите можат да се претстават на неколку начини. Едно вообичаено претставување е во форма на координати, како што се \( \vec{v} = (x, y) \) , каде што \(x\) и \(y\) се компоненти на векторот во хоризонтална и вертикална насоки, соодветно. Друг начин за претставување на вектори е користење на ознаката \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , каде што \(\hat{i}\) и \(\hat{j}\) се единечни вектори во хоризонтална и вертикална насока, соодветно.
Големината на векторот \(\vec{v} = (x, y)\) може да се пресмета со помош на Питагоровата теорема: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Насоката на векторот често се опишува со помош на аголот \(\theta\) што го прави со позитивната оска x, што може да се одреди со помош на тригонометрија, конкретно преку функцијата тангента: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Постојат неколку основни операции кои можат да се извршат со вектори, вклучувајќи собирање , одземање и скаларно множење .
Производот со точки (или скаларен производ) на два вектори \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) , означен како \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , е начин на множење вектори за да се добие скалар (број). Производот со точки е дефиниран како \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , каде \(\theta\) е аголот помеѓу \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) . Ако векторите се дадени со нивните компоненти, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , производот со точки може да се пресмета како \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Производот со точки може да се користи за одредување на аголот помеѓу два вектори или за проектирање на еден вектор на друг.
Проекцијата на векторот \(\vec{a}\) на векторот \(\vec{b}\) е вектор што ја претставува компонентата на \(\vec{a}\) во насока на \(\vec{b}\) . Проекцијата е дадена со формулата: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , што се скалира \(\vec{b}\) според односот на производ со точки.
Во тродимензионалниот простор, друга операција наречена вкрстен производ се користи за да се најде вектор нормален на два други вектори. Ако \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) се вектори во 3D простор, вкрстениот производ \(\vec{a} \times \vec{b}\) е вектор нормален на и \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) чија големина е \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) и \(\theta\) е аголот помеѓу \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) . Оваа операција е клучна во физиката и инженерството за пронаоѓање на нормални вектори на површини или во пресметување на вртежниот момент.
Векторите наоѓаат апликации во многу области:
За да го визуелизирате собирањето вектор, земете ги предвид два вектори \(\vec{a} = (3, 2)\) и \(\vec{b} = (2, 1)\) . За да ги додадете овие вектори, нацртајте \(\vec{a}\) почнувајќи од потеклото (0, 0) и потоа нацртајте \(\vec{b}\) почнувајќи од главата на \(\vec{a}\) . Резултантниот вектор \(\vec{r}\) оди од потеклото до главата на \(\vec{b}\) која беше поставена на главата на \(\vec{a}\) . Координатите на \(\vec{r}\) може да се пресметаат како \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Евклидовите вектори се суштински дел од математиката и геометријата, обезбедувајќи начин за квантифицирање и манипулирање со величините кои имаат и големина и насока. Преку операции како собирање, одземање, производ со точки и вкрстен производ, векторите можат да моделираат феномени од реалниот свет и да решаваат сложени проблеми во различни области. Со разбирање на основните принципи на векторите, можете да изградите основа за понапредни студии по физика, инженерство, компјутерски науки и други дисциплини. Геометриската интуиција и алгебарските операции воведени со вектори го отвораат патот за посложени концепти како векторски простори и линеарни трансформации, кои играат клучна улога во повисоките математички и практични апликации.
