Энэ хичээлээр бид Евклидийн векторуудын ертөнцийг судлах болно. Векторууд нь математик, геометрийн үндсэн ойлголт бөгөөд хэмжигдэхүүн ба чиглэлтэй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэхэд ашигладаг. Векторуудыг ойлгох нь физик, инженерчлэл, компьютер график гэх мэт төрөл бүрийн хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой.
Евклидийн векторыг ихэвчлэн вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд хэмжээ (эсвэл урт) ба чиглэлтэй геометрийн объект юм. Векторуудыг олон хэмжээсээр дүрсэлж болох боловч хялбар болгох үүднээс бид хоёр хэмжээст орон зай дахь векторуудаас эхэлнэ. Векторыг ихэвчлэн сум хэлбэрээр зурдаг бөгөөд сумны урт нь векторын хэмжээг, сумны чиглэл нь векторын чиглэлийг харуулдаг.
Векторуудыг хэд хэдэн аргаар илэрхийлж болно. Нэг нийтлэг дүрслэл нь \( \vec{v} = (x, y) \) гэх мэт координатын хэлбэртэй бөгөөд \(x\) ба \(y\) нь хэвтээ ба босоо чиглэлд векторын бүрэлдэхүүн хэсэг юм. чиглэл, тус тус. Векторуудыг илэрхийлэх өөр нэг арга бол \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) тэмдэглэгээг ашиглах \(\hat{i}\) ба \(\hat{j}\) нь хэвтээ ба босоо чиглэлийн нэгж векторууд юм.
\(\vec{v} = (x, y)\) векторын хэмжээг Пифагорын теоремыг ашиглан тооцоолж болно: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Векторын чиглэлийг ихэвчлэн тригонометрийн тусламжтайгаар, ялангуяа шүргэгч функцээр тодорхойлж болох эерэг x тэнхлэгээр үүсгэсэн \(\theta\) өнцгийг ашиглан тодорхойлдог: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Нэмэх , хасах , скаляр үржүүлэх зэрэг векторуудтай хийж болох хэд хэдэн үндсэн үйлдлүүд байдаг.
\(\vec{a}\) ба \(\vec{b}\) хоёр векторын цэгийн үржвэр (эсвэл скаляр үржвэр) бөгөөд үүнийг \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) гэж тэмдэглэсэн. нь скаляр (тоо) авахын тулд векторуудыг үржүүлэх арга юм. Цэгийн бүтээгдэхүүн \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) гэж тодорхойлогддог бөгөөд энд \(\theta\) нь \(\vec{a}\) ба \(\vec{b}\) хоорондох өнцөг юм. Хэрэв векторуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) ба \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) өгөгдсөн бол цэгийн үржвэрийг \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) гэж тооцож болно. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Цэгэн үржвэрийг хоёр векторын хоорондох өнцгийг тодорхойлох эсвэл нэг векторыг нөгөө рүү проекцлоход ашиглаж болно.
\(\vec{a}\) векторын \(\vec{b}\) вектор дээрх проекц нь \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) -ийн чиглэлд илэрхийлдэг вектор юм. \(\vec{b}\) . Төсөл нь дараах томъёогоор өгөгдөнө: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , энэ нь \(\vec{b}\) г цэгийн үржвэрийн харьцаагаар хэмждэг.
Гурван хэмжээст орон зайд өөр хоёр вектортой перпендикуляр векторыг олохын тулд хөндлөн үржвэр гэж нэрлэгддэг өөр үйлдлийг ашигладаг. Хэрэв \(\vec{a}\) ба \(\vec{b}\) нь 3 хэмжээст орон зайд векторууд бол хөндлөн үржвэр \(\vec{a} \times \vec{b}\) нь үүнтэй перпендикуляр вектор болно. \(\vec{a}\) ба \(\vec{b}\) хоёулангийнх нь хэмжээ нь \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) ба \(\theta\) нь \(\vec{a}\) болон \(\vec{b}\) хоорондын өнцөг юм. Энэ үйлдэл нь физик, инженерчлэлийн хувьд гадаргуугийн хэвийн векторуудыг олох эсвэл эргүүлэх хүчийг тооцоолоход маш чухал юм.
Векторууд нь олон талбарт програмуудыг олдог:
Вектор нэмэхийг төсөөлөхийн тулд \(\vec{a} = (3, 2)\) ба \(\vec{b} = (2, 1)\) хоёр векторыг авч үзье. Эдгээр векторуудыг нэмэхийн тулд эхээс (0, 0) эхлэн \(\vec{a}\) зурж, \(\vec{b}\) -ийн толгойноос эхлэн \(\vec{a}\) зурна. . Үр дүнд бий болсон вектор \(\vec{r}\) эхээс \(\vec{b}\) -ийн толгойд очдог бөгөөд \(\vec{a}\) -ын толгойд байрлана. \(\vec{r}\) ийн координатыг \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Евклидийн векторууд нь математик, геометрийн чухал хэсэг бөгөөд хэмжигдэхүүн, чиглэлтэй хэмжигдэхүүнийг тоолж, удирдах арга замыг өгдөг. Нэмэх, хасах, цэгийн үржвэр, хөндлөн үржвэр зэрэг үйлдлүүдийн тусламжтайгаар векторууд бодит ертөнцийн үзэгдлийг загварчилж, янз бүрийн талбарт төвөгтэй асуудлыг шийдэж чадна. Векторуудын үндсэн зарчмуудыг ойлгосноор та физик, инженерчлэл, компьютерийн шинжлэх ухаан болон бусад салбаруудад илүү дэвшилтэт судалгаа хийх үндэс суурийг тавьж чадна. Векторуудтай танилцуулсан геометрийн зөн совин, алгебрийн үйлдлүүд нь өндөр математик болон практик хэрэглээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг вектор орон зай, шугаман хувиргалт зэрэг илүү төвөгтэй ойлголтуудыг бий болгох замыг нээж өгдөг.
