यस पाठमा, हामी इक्लिडियन भेक्टरहरूको संसारको अन्वेषण गर्नेछौं। भेक्टरहरू गणित र ज्यामितिमा आधारभूत अवधारणा हुन्, परिमाण र दिशा दुवै भएका परिमाणहरू प्रतिनिधित्व गर्न प्रयोग गरिन्छ। भौतिकी, ईन्जिनियरिङ्, कम्प्युटर ग्राफिक्स, र थपमा विभिन्न अनुप्रयोगहरूको लागि भेक्टरहरू बुझ्न महत्त्वपूर्ण छ।
एक इक्लिडियन भेक्टर , प्राय जसो एक भेक्टर भनिन्छ, एक ज्यामितीय वस्तु हो जसको परिमाण (वा लम्बाइ) र दिशा हुन्छ। भेक्टरहरू धेरै आयामहरूमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ, तर सरलताको लागि, हामी दुई-आयामी ठाउँमा भेक्टरहरूबाट सुरु गर्नेछौं। एक भेक्टर सामान्यतया तीरको रूपमा कोरिन्छ, जहाँ तीरको लम्बाइले भेक्टरको परिमाणलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ, र तीरको दिशाले भेक्टरको दिशा देखाउँछ।
भेक्टरहरू धेरै तरिकामा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ। एउटा साझा प्रतिनिधित्व निर्देशांकको रूपमा हुन्छ, जस्तै \( \vec{v} = (x, y) \) , जहाँ \(x\) र \(y\) तेर्सो र ठाडो भेक्टरका घटक हुन्। निर्देशन, क्रमशः। भेक्टरहरू प्रतिनिधित्व गर्ने अर्को तरिका नोटेशन \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) प्रयोग गरिरहेको छ, जहाँ \(\hat{i}\) र \(\hat{j}\) क्रमशः तेर्सो र ठाडो दिशाहरूमा एकाइ भेक्टरहरू हुन्।
भेक्टरको परिमाण \(\vec{v} = (x, y)\) पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) । भेक्टरको दिशा प्रायः कोण \(\theta\) प्रयोग गरेर वर्णन गरिन्छ यसले सकारात्मक x-अक्षसँग बनाउँछ, जुन त्रिकोणमिति प्रयोग गरेर निर्धारण गर्न सकिन्छ, विशेष गरी ट्यान्जेन्ट प्रकार्य मार्फत: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) ।
त्यहाँ धेरै आधारभूत कार्यहरू छन् जुन भेक्टरहरूसँग गर्न सकिन्छ, थप , घटाउ , र स्केलर गुणन सहित।
डट उत्पादन (वा स्केलर उत्पादन) दुई भेक्टरहरू \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) , \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) को रूपमा बुझाइन्छ, स्केलर (संख्या) प्राप्त गर्न भेक्टरहरू गुणन गर्ने तरिका हो। डट उत्पादनलाई \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) रूपमा परिभाषित गरिएको छ, जहाँ \(\theta\) \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) बीचको कोण हो। यदि भेक्टरहरू तिनीहरूका घटकहरूद्वारा दिइन्छ, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) र \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , डट उत्पादनलाई \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) को रूपमा गणना गर्न सकिन्छ। \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) डट उत्पादन दुई भेक्टरहरू बीचको कोण निर्धारण गर्न वा एउटा भेक्टरलाई अर्कोमा प्रोजेक्ट गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ।
भेक्टरको प्रक्षेपण \(\vec{a}\) भेक्टरमा \(\vec{b}\) एउटा भेक्टर हो जसले \(\vec{a}\) को दिशामा \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) को कम्पोनेन्ट प्रतिनिधित्व गर्दछ। \(\vec{b}\) । प्रक्षेपण सूत्रद्वारा दिइएको छ: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , जसले डट उत्पादन अनुपात अनुसार \(\vec{b}\) मापन गर्छ।
त्रि-आयामिक अन्तरिक्षमा, क्रस उत्पादन भनिने अर्को अपरेशन दुई अन्य भेक्टरहरूमा लम्बवत भेक्टर फेला पार्न प्रयोग गरिन्छ। यदि \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) 3D स्पेसमा भेक्टरहरू हुन् भने, क्रस उत्पादन \(\vec{a} \times \vec{b}\) लम्बवत भेक्टर हो दुबै \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) जसको परिमाण \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , र \(\theta\) \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) बीचको कोण हो। सतहहरूमा सामान्य भेक्टरहरू फेला पार्न वा टर्क गणना गर्नको लागि भौतिक विज्ञान र इन्जिनियरिङमा यो अपरेशन महत्त्वपूर्ण छ।
भेक्टरहरूले धेरै क्षेत्रहरूमा अनुप्रयोगहरू फेला पार्छन्:
भेक्टर थपको कल्पना गर्न, दुई भेक्टरहरू \(\vec{a} = (3, 2)\) र \(\vec{b} = (2, 1)\) विचार गर्नुहोस्। यी भेक्टरहरू थप्नको लागि, मूल (०, ०) बाट सुरु हुँदै \(\vec{a}\) कोर्नुहोस् र \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) को हेडबाट सुरु हुँदै कोर्नुहोस्। । परिणामस्वरूप भेक्टर \(\vec{r}\) मूलबाट \(\vec{b}\) को हेडमा जान्छ जुन \(\vec{a}\) को टाउकोमा राखिएको थियो। \(\vec{r}\) को समन्वयहरू \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) ।
इक्लिडियन भेक्टरहरू गणित र ज्यामितिको एक आवश्यक भाग हुन्, परिमाण र दिशा दुवै भएका परिमाणहरूलाई परिमाण र हेरफेर गर्ने तरिका प्रदान गर्दछ। थप, घटाउ, डट उत्पादन, र क्रस उत्पादन जस्ता कार्यहरू मार्फत, भेक्टरहरूले वास्तविक-विश्व घटनाहरू मोडेल गर्न र विभिन्न क्षेत्रहरूमा जटिल समस्याहरू समाधान गर्न सक्छन्। भेक्टरहरूको आधारभूत सिद्धान्तहरू बुझेर, तपाईंले भौतिक विज्ञान, इन्जिनियरिङ्, कम्प्युटर विज्ञान, र अन्य विषयहरूमा थप उन्नत अध्ययनहरूको लागि आधार निर्माण गर्न सक्नुहुन्छ। भेक्टरहरूसँग प्रस्तुत गरिएको ज्यामितीय अन्तर्ज्ञान र बीजगणितीय अपरेशनहरूले भेक्टर स्पेस र रैखिक रूपान्तरणहरू जस्ता जटिल अवधारणाहरूको लागि मार्ग प्रशस्त गर्दछ, जसले उच्च गणित र व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूमा समान रूपमा महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छ।
