Na tej lekcji będziemy poznawać świat wektorów euklidesowych. Wektory to podstawowe pojęcie w matematyce i geometrii, używane do reprezentowania wielkości, które mają zarówno wielkość, jak i kierunek. Zrozumienie wektorów ma kluczowe znaczenie w różnych zastosowaniach w fizyce, inżynierii, grafice komputerowej i nie tylko.
Wektor euklidesowy , często nazywany po prostu wektorem, jest obiektem geometrycznym, który ma wielkość (lub długość) i kierunek. Wektory można przedstawić w wielu wymiarach, ale dla uproszczenia zaczniemy od wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej. Wektor jest zwykle rysowany jako strzałka, gdzie długość strzałki reprezentuje wielkość wektora, a kierunek strzałki pokazuje kierunek wektora.
Wektory można przedstawić na kilka sposobów. Jedną z powszechnych reprezentacji jest postać współrzędnych, taka jak \( \vec{v} = (x, y) \) , gdzie \(x\) i \(y\) są składowymi wektora w poziomie i pionie kierunki, odpowiednio. Innym sposobem przedstawienia wektorów jest użycie notacji \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , gdzie \(\hat{i}\) i \(\hat{j}\) są wektorami jednostkowymi odpowiednio w kierunku poziomym i pionowym.
Wielkość wektora \(\vec{v} = (x, y)\) można obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Kierunek wektora jest często opisywany za pomocą kąta \(\theta\) , jaki tworzy z dodatnią osią X, który można wyznaczyć za pomocą trygonometrii, w szczególności za pomocą funkcji tangens: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Istnieje kilka podstawowych operacji, które można wykonać na wektorach, w tym dodawanie , odejmowanie i mnożenie przez skalar .
Iloczyn skalarny (lub iloczyn skalarny) dwóch wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) , oznaczony jako \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , to sposób mnożenia wektorów w celu otrzymania skalara (liczby). Iloczyn skalarny definiuje się jako \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , gdzie \(\theta\) to kąt pomiędzy \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) . Jeśli wektory są określone przez ich składowe, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) i \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , iloczyn skalarny można obliczyć jako \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Iloczyn skalarny można wykorzystać do określenia kąta między dwoma wektorami lub do rzutowania jednego wektora na drugi.
Rzut wektora \(\vec{a}\) na wektor \(\vec{b}\) jest wektorem reprezentującym składową \(\vec{a}\) w kierunku \(\vec{b}\) . Rzut jest określony wzorem: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , który skaluje \(\vec{b}\) zgodnie ze stosunkiem iloczynu skalarnego.
W przestrzeni trójwymiarowej inna operacja zwana iloczynem krzyżowym służy do znalezienia wektora prostopadłego do dwóch innych wektorów. Jeśli \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) są wektorami w przestrzeni 3D, iloczyn poprzeczny \(\vec{a} \times \vec{b}\) jest wektorem prostopadłym do oba \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) których wielkość wynosi \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , a \(\theta\) to kąt pomiędzy \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) . Operacja ta ma kluczowe znaczenie w fizyce i inżynierii przy znajdowaniu wektorów normalnych do powierzchni lub przy obliczaniu momentu obrotowego.
Wektory znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach:
Aby zwizualizować dodawanie wektorów, rozważmy dwa wektory \(\vec{a} = (3, 2)\) i \(\vec{b} = (2, 1)\) . Aby dodać te wektory, narysuj \(\vec{a}\) zaczynając od początku (0, 0), a następnie narysuj \(\vec{b}\) zaczynając od początku \(\vec{a}\) . Wynikowy wektor \(\vec{r}\) biegnie od początku do początku \(\vec{b}\) który został umieszczony na początku \(\vec{a}\) . Współrzędne \(\vec{r}\) można obliczyć jako \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Wektory euklidesowe są istotną częścią matematyki i geometrii, umożliwiając kwantyfikowanie i manipulowanie wielkościami, które mają zarówno wielkość, jak i kierunek. Dzięki operacjom takim jak dodawanie, odejmowanie, iloczyn skalarny i iloczyn krzyżowy wektory mogą modelować zjawiska w świecie rzeczywistym i rozwiązywać złożone problemy z różnych dziedzin. Rozumiejąc podstawowe zasady wektorów, możesz zbudować podstawy do bardziej zaawansowanych studiów z fizyki, inżynierii, informatyki i innych dyscyplin. Intuicja geometryczna i operacje algebraiczne wprowadzone na wektorach torują drogę bardziej złożonym pojęciom, takim jak przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe, które odgrywają kluczową rolę zarówno w wyższej matematyce, jak i zastosowaniach praktycznych.
