На этом уроке мы познакомимся с миром евклидовых векторов. Векторы — это фундаментальное понятие в математике и геометрии, используемое для представления величин, имеющих как величину, так и направление. Понимание векторов имеет решающее значение для различных приложений в физике, технике, компьютерной графике и т. д.
Евклидов вектор , часто называемый просто вектором, представляет собой геометрический объект, имеющий величину (или длину) и направление. Векторы могут быть представлены в нескольких измерениях, но для простоты мы начнем с векторов в двумерном пространстве. Вектор обычно изображается в виде стрелки, где длина стрелки представляет величину вектора, а направление стрелки показывает направление вектора.
Векторы могут быть представлены несколькими способами. Одним из распространенных представлений является форма координат, например \( \vec{v} = (x, y) \) , где \(x\) и \(y\) — компоненты вектора по горизонтали и вертикали. направления соответственно. Другой способ представления векторов — использование обозначения \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , где \(\hat{i}\) и \(\hat{j}\) — единичные векторы в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.
Величину вектора \(\vec{v} = (x, y)\) можно вычислить с помощью теоремы Пифагора: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Направление вектора часто описывается с помощью угла \(\theta\) который он образует с положительной осью X, который можно определить с помощью тригонометрии, в частности, с помощью функции тангенса: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
С векторами можно выполнять несколько фундаментальных операций, включая сложение , вычитание и скалярное умножение .
Скалярное произведение (или скалярное произведение) двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) , обозначаемое как \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , это способ умножения векторов для получения скаляра (числа). Скалярное произведение определяется как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , где \(\theta\) — это угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) . Если векторы заданы их компонентами, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , скалярное произведение можно рассчитать как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Скалярное произведение можно использовать для определения угла между двумя векторами или для проецирования одного вектора на другой.
Проекция вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) — это вектор, представляющий компонент \(\vec{a}\) в направлении \(\vec{b}\) . Проекция задается формулой: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , который масштабирует \(\vec{b}\) в соответствии с соотношением скалярного произведения.
В трехмерном пространстве для нахождения вектора, перпендикулярного двум другим векторам, используется еще одна операция, называемая векторным произведением . Если \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются векторами в трехмерном пространстве, векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\) является вектором, перпендикулярным оба \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) , величина которых равна \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , а \(\theta\) — это угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) . Эта операция имеет решающее значение в физике и технике для поиска векторов нормалей к поверхностям или для расчета крутящего момента.
Векторы находят применение во многих областях:
Чтобы визуализировать сложение векторов, рассмотрим два вектора \(\vec{a} = (3, 2)\) и \(\vec{b} = (2, 1)\) . Чтобы добавить эти векторы, нарисуйте \(\vec{a}\) начиная с начала координат (0, 0), а затем нарисуйте \(\vec{b}\) начиная с головы \(\vec{a}\) . Результирующий вектор \(\vec{r}\) идет от начала координат к началу \(\vec{b}\) , который был помещен в начало \(\vec{a}\) . Координаты \(\vec{r}\) можно рассчитать как \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Евклидовы векторы являются важной частью математики и геометрии, позволяя количественно определять и манипулировать величинами, имеющими как величину, так и направление. С помощью таких операций, как сложение, вычитание, скалярное произведение и перекрестное произведение, векторы могут моделировать явления реального мира и решать сложные проблемы в различных областях. Понимая основные принципы векторов, вы можете заложить основу для более углубленных исследований в области физики, техники, информатики и других дисциплин. Геометрическая интуиция и алгебраические операции, связанные с векторами, открывают путь к более сложным понятиям, таким как векторные пространства и линейные преобразования, которые играют решающую роль как в высшей математике, так и в практических приложениях.
