Katika somo hili, tutachunguza ulimwengu wa vekta za Euclidean. Vekta ni dhana ya kimsingi katika hisabati na jiometri, inayotumiwa kuwakilisha idadi ambayo ina ukubwa na mwelekeo. Kuelewa vekta ni muhimu kwa matumizi anuwai katika fizikia, uhandisi, picha za kompyuta, na zaidi.
Vekta ya Euclidean , ambayo mara nyingi huitwa vekta, ni kitu cha kijiometri ambacho kina ukubwa (au urefu) na mwelekeo. Vectors zinaweza kuwakilishwa kwa vipimo vingi, lakini kwa unyenyekevu, tutaanza na vectors katika nafasi mbili-dimensional. Vekta kwa kawaida huchorwa kama mshale, ambapo urefu wa mshale unawakilisha ukubwa wa vekta, na mwelekeo wa mshale unaonyesha mwelekeo wa vekta.
Vectors inaweza kuwakilishwa kwa njia kadhaa. Uwakilishi mmoja wa kawaida ni katika mfumo wa kuratibu, kama vile \( \vec{v} = (x, y) \) , ambapo \(x\) na \(y\) ni sehemu za vekta katika usawa na wima. maelekezo, kwa mtiririko huo. Njia nyingine ya kuwakilisha vekta ni kutumia nukuu \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , ambapo \(\hat{i}\) na \(\hat{j}\) ni vekta za kitengo katika mwelekeo mlalo na wima, mtawalia.
Ukubwa wa vekta \(\vec{v} = (x, y)\) inaweza kuhesabiwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Mwelekeo wa vekta mara nyingi huelezewa kwa kutumia pembe \(\theta\) inayotengeneza na mhimili chanya wa x, ambao unaweza kuamuliwa kwa kutumia trigonometry, haswa kupitia kazi ya tangent: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Kuna shughuli kadhaa za kimsingi zinazoweza kufanywa kwa vidhibiti, ikijumuisha kujumlisha , kutoa na kuzidisha kozi .
Bidhaa ya nukta (au bidhaa ya scalar) ya vekta mbili \(\vec{a}\) na \(\vec{b}\) , iliyoashiriwa kama \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , ni njia ya kuzidisha vekta ili kupata scalar (nambari). Bidhaa ya nukta inafafanuliwa kama \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , ambapo \(\theta\) ni pembe kati ya \(\vec{a}\) na \(\vec{b}\) . Ikiwa vekta zimetolewa na vijenzi vyao, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) na \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , bidhaa ya nukta inaweza kuhesabiwa kama \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Bidhaa ya nukta inaweza kutumika kubainisha pembe kati ya vekta mbili au kuweka vekta moja kwenye nyingine.
Makadirio ya vekta \(\vec{a}\) kwenye vekta \(\vec{b}\) ni vekta ambayo inawakilisha sehemu ya \(\vec{a}\) katika mwelekeo wa \(\vec{b}\) . Makadirio yanatolewa na fomula: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , ambayo huweka mizani \(\vec{b}\) kulingana na uwiano wa bidhaa za nukta.
Katika nafasi ya tatu-dimensional, operesheni nyingine inayoitwa bidhaa msalaba hutumiwa kupata vector perpendicular kwa vectors nyingine mbili. Ikiwa \(\vec{a}\) na \(\vec{b}\) ni vekta katika nafasi ya 3D, bidhaa mtambuka \(\vec{a} \times \vec{b}\) ni vekta inayoendana na zote \(\vec{a}\) na \(\vec{b}\) ambazo ukubwa wake ni \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , na \(\theta\) ni pembe kati ya \(\vec{a}\) na \(\vec{b}\) . Operesheni hii ni muhimu katika fizikia na uhandisi katika kutafuta vekta za kawaida kwenye nyuso au katika kukokotoa torque.
Vekta hupata programu katika nyanja nyingi:
Ili kuibua nyongeza ya vekta, zingatia vekta mbili \(\vec{a} = (3, 2)\) na \(\vec{b} = (2, 1)\) . Ili kuongeza vekta hizi, chora \(\vec{a}\) kuanzia asili (0, 0) na kisha chora \(\vec{b}\) kuanzia kichwa cha \(\vec{a}\) . Vekta ya matokeo \(\vec{r}\) huenda kutoka asili hadi kichwa cha \(\vec{b}\) ambacho kiliwekwa kwenye kichwa cha \(\vec{a}\) . Viwianishi vya \(\vec{r}\) vinaweza kuhesabiwa kama \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Vekta za Euclidean ni sehemu muhimu ya hisabati na jiometri, ikitoa njia ya kuhesabu na kudhibiti idadi ambayo ina ukubwa na mwelekeo. Kupitia shughuli kama vile kuongeza, kutoa, bidhaa yenye nukta, na bidhaa mbalimbali, vekta zinaweza kuiga matukio ya ulimwengu halisi na kutatua matatizo changamano katika nyanja mbalimbali. Kwa kuelewa kanuni za msingi za vekta, unaweza kujenga msingi wa masomo ya juu zaidi katika fizikia, uhandisi, sayansi ya kompyuta, na taaluma nyingine. Utambuzi wa kijiometri na shughuli za aljebra zinazoletwa kwa vekta hufungua njia kwa dhana changamano zaidi kama nafasi za vekta na mabadiliko ya mstari, ambayo huchukua jukumu muhimu katika hisabati ya juu na matumizi ya vitendo sawa.
