ในบทนี้ เราจะสำรวจโลกของเวกเตอร์แบบยุคลิด เวกเตอร์เป็นแนวคิดพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์และเรขาคณิต ซึ่งใช้แทนปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง การทำความเข้าใจเวกเตอร์ถือเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการใช้งานต่างๆ ในสาขาฟิสิกส์ วิศวกรรม คอมพิวเตอร์กราฟิก และอื่นๆ
เวกเตอร์แบบยุคลิด มักเรียกง่ายๆ ว่าเวกเตอร์ เป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีขนาด (หรือความยาว) และทิศทาง เวกเตอร์สามารถแสดงได้หลายมิติ แต่เพื่อความง่าย เราจะเริ่มต้นด้วยเวกเตอร์ในพื้นที่สองมิติ โดยทั่วไปแล้วเวกเตอร์จะถูกวาดเป็นลูกศร โดยที่ความยาวของลูกศรแสดงถึงขนาดของเวกเตอร์ และทิศทางของลูกศรจะแสดงทิศทางของเวกเตอร์
เวกเตอร์สามารถแสดงได้หลายวิธี การแสดงทั่วไปอย่างหนึ่งจะอยู่ในรูปแบบของพิกัด เช่น \( \vec{v} = (x, y) \) โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ในแนวนอนและแนวตั้ง ทิศทางตามลำดับ อีกวิธีหนึ่งในการแสดงเวกเตอร์คือการใช้สัญลักษณ์ \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) โดยที่ \(\hat{i}\) และ \(\hat{j}\) เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางแนวนอนและแนวตั้ง ตามลำดับ
ขนาด ของเวกเตอร์ \(\vec{v} = (x, y)\) สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . ทิศทาง ของเวกเตอร์มักอธิบายโดยใช้มุม \(\theta\) ซึ่งสร้างด้วยแกน x บวก ซึ่งสามารถกำหนดได้โดยใช้ตรีโกณมิติ โดยเฉพาะผ่านฟังก์ชันแทนเจนต์: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
มีการดำเนินการพื้นฐานหลายประการที่สามารถทำได้โดยใช้เวกเตอร์ รวมถึง การ บวก การลบ และ การคูณสเกลาร์
ผลคูณดอท (หรือผลคูณสเกลาร์) ของเวกเตอร์สองตัว \(\vec{a}\) และ \(\vec{b}\) แสดงว่า \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , เป็นวิธีการคูณเวกเตอร์เพื่อให้ได้สเกลาร์ (ตัวเลข) ดอทโปรดัคถูกกำหนดเป็น \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) โดยที่ \(\theta\) คือมุมระหว่าง \(\vec{a}\) และ \(\vec{b}\) หากเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยส่วนประกอบ \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) และ \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) ผลคูณดอทสามารถคำนวณได้เป็น \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) ดอทโปรดัคสามารถใช้เพื่อกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว หรือฉายเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์หนึ่งได้
เส้นโครง ของ vector \(\vec{a}\) ลงบน vector \(\vec{b}\) เป็นเวกเตอร์ที่แสดงถึงส่วนประกอบของ \(\vec{a}\) ในทิศทางของ \(\vec{b}\) . เส้นโครงถูกกำหนดโดยสูตร: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) ซึ่งปรับขนาด \(\vec{b}\) ตามอัตราส่วนผลิตภัณฑ์ดอท
ในปริภูมิสามมิติ มีการดำเนินการอีกอย่างหนึ่งที่เรียกว่า ผลคูณไขว้ เพื่อค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์อีกสองตัว ถ้า \(\vec{a}\) และ \(\vec{b}\) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ ผลคูณไขว้ \(\vec{a} \times \vec{b}\) เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ ทั้ง \(\vec{a}\) และ \(\vec{b}\) ซึ่งมีขนาดเท่ากับ \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) และ \(\theta\) คือมุมระหว่าง \(\vec{a}\) และ \(\vec{b}\) การดำเนินการนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในฟิสิกส์และวิศวกรรมในการค้นหาเวกเตอร์ปกติบนพื้นผิวหรือในการคำนวณแรงบิด
เวกเตอร์ค้นหาการใช้งานในหลากหลายสาขา:
หากต้องการเห็นภาพการบวกเวกเตอร์ ให้พิจารณาเวกเตอร์สองตัว \(\vec{a} = (3, 2)\) และ \(\vec{b} = (2, 1)\) หากต้องการเพิ่มเวกเตอร์เหล่านี้ ให้วาด \(\vec{a}\) โดยเริ่มจากจุดกำเนิด (0, 0) จากนั้นวาด \(\vec{b}\) โดยเริ่มจากส่วนหัวของ \(\vec{a}\) . ผลลัพธ์เวกเตอร์ \(\vec{r}\) ไปจากจุดกำเนิดถึงส่วนหัวของ \(\vec{b}\) ซึ่งถูกวางไว้ที่ส่วนหัวของ \(\vec{a}\) พิกัดของ \(\vec{r}\) สามารถคำนวณได้เป็น \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
เวกเตอร์แบบยุคลิดเป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์และเรขาคณิต ซึ่งเป็นวิธีการหาปริมาณและจัดการปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ด้วยการดำเนินการต่างๆ เช่น การบวก การลบ ผลคูณดอท และผลคูณไขว้ เวกเตอร์สามารถสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงและแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในด้านต่างๆ ได้ เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานของเวกเตอร์ คุณจะสามารถสร้างรากฐานสำหรับการศึกษาขั้นสูงในสาขาฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ และสาขาวิชาอื่นๆ ได้ สัญชาตญาณทางเรขาคณิตและการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่ใช้กับเวกเตอร์ปูทางไปสู่แนวคิดที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สเปซเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ระดับสูงและการประยุกต์ในทางปฏิบัติ
