Sa araling ito, tutuklasin natin ang mundo ng mga Euclidean vectors. Ang mga vector ay isang pangunahing konsepto sa matematika at geometry, na ginagamit upang kumatawan sa mga dami na may parehong magnitude at direksyon. Ang pag-unawa sa mga vector ay kritikal para sa iba't ibang mga aplikasyon sa pisika, engineering, computer graphics, at higit pa.
Ang Euclidean vector , kadalasang simpleng tinatawag na vector, ay isang geometric na bagay na may magnitude (o haba) at direksyon. Maaaring katawanin ang mga vector sa maraming dimensyon, ngunit para sa pagiging simple, magsisimula tayo sa mga vector sa isang dalawang-dimensional na espasyo. Ang isang vector ay karaniwang iginuhit bilang isang arrow, kung saan ang haba ng arrow ay kumakatawan sa magnitude ng vector, at ang direksyon ng arrow ay nagpapakita ng direksyon ng vector.
Ang mga vector ay maaaring ilarawan sa maraming paraan. Ang isang karaniwang representasyon ay nasa anyo ng mga coordinate, tulad ng \( \vec{v} = (x, y) \) , kung saan ang \(x\) at \(y\) ay mga bahagi ng vector sa pahalang at patayo direksyon, ayon sa pagkakabanggit. Ang isa pang paraan upang kumatawan sa mga vector ay ang paggamit ng notasyon \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , kung saan ang \(\hat{i}\) at \(\hat{j}\) ay mga unit vector sa pahalang at patayong direksyon, ayon sa pagkakabanggit.
Ang magnitude ng isang vector \(\vec{v} = (x, y)\) ay maaaring kalkulahin gamit ang Pythagorean theorem: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Ang direksyon ng isang vector ay kadalasang inilalarawan gamit ang anggulong \(\theta\) na ginagawa nito gamit ang positibong x-axis, na maaaring matukoy gamit ang trigonometry, partikular sa pamamagitan ng tangent function: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Mayroong ilang mga pangunahing operasyon na maaaring isagawa gamit ang mga vector, kabilang ang pagdaragdag , pagbabawas , at pagpaparami ng scalar .
Ang tuldok na produkto (o scalar product) ng dalawang vectors \(\vec{a}\) at \(\vec{b}\) , na tinutukoy bilang \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , ay isang paraan ng pagpaparami ng mga vector upang makakuha ng scalar (numero). Ang produkto ng tuldok ay tinukoy bilang \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , kung saan ang \(\theta\) ay ang anggulo sa pagitan ng \(\vec{a}\) at \(\vec{b}\) . Kung ang mga vector ay ibinigay ng kanilang mga bahagi, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) at \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , ang tuldok na produkto ay maaaring kalkulahin bilang \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Maaaring gamitin ang produkto ng tuldok upang matukoy ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector o upang i-project ang isang vector papunta sa isa pa.
Ang projection ng vector \(\vec{a}\) sa vector \(\vec{b}\) ay isang vector na kumakatawan sa component ng \(\vec{a}\) sa direksyon ng \(\vec{b}\) . Ang projection ay ibinibigay ng formula: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , na nagsusukat ng \(\vec{b}\) ayon sa dot product ratio.
Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang isa pang operasyon na tinatawag na cross product ay ginagamit upang mahanap ang isang vector na patayo sa dalawang iba pang mga vector. Kung \(\vec{a}\) at \(\vec{b}\) ay mga vector sa 3D space, ang cross product \(\vec{a} \times \vec{b}\) ay isang vector na patayo sa parehong \(\vec{a}\) at \(\vec{b}\) na ang magnitude ay \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , at ang \(\theta\) ay ang anggulo sa pagitan ng \(\vec{a}\) at \(\vec{b}\) . Ang operasyong ito ay mahalaga sa pisika at engineering para sa paghahanap ng mga normal na vector sa mga ibabaw o sa pagkalkula ng torque.
Ang mga vector ay nakakahanap ng mga aplikasyon sa maraming larangan:
Upang mailarawan ang pagdaragdag ng vector, isaalang-alang ang dalawang vectors \(\vec{a} = (3, 2)\) at \(\vec{b} = (2, 1)\) . Upang idagdag ang mga vector na ito, gumuhit ng \(\vec{a}\) simula sa pinanggalingan (0, 0) at pagkatapos ay gumuhit ng \(\vec{b}\) simula sa ulo ng \(\vec{a}\) . Ang resultang vector \(\vec{r}\) ay napupunta mula sa pinanggalingan hanggang sa ulo ng \(\vec{b}\) na inilagay sa ulo ng \(\vec{a}\) . Ang mga coordinate ng \(\vec{r}\) ay maaaring kalkulahin bilang \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Ang mga Euclidean vector ay isang mahalagang bahagi ng matematika at geometry, na nagbibigay ng paraan upang mabilang at mamanipula ang mga dami na may parehong magnitude at direksyon. Sa pamamagitan ng mga operasyon tulad ng karagdagan, pagbabawas, tuldok na produkto, at cross product, ang mga vector ay maaaring magmodelo ng mga real-world na phenomena at malutas ang mga kumplikadong problema sa iba't ibang larangan. Sa pamamagitan ng pag-unawa sa mga pangunahing prinsipyo ng mga vector, maaari kang bumuo ng pundasyon para sa mas advanced na pag-aaral sa physics, engineering, computer science, at iba pang mga disiplina. Ang geometric na intuition at algebraic na operasyon na ipinakilala sa mga vector ay nagbibigay daan para sa mas kumplikadong mga konsepto tulad ng mga vector space at linear transformation, na gumaganap ng isang mahalagang papel sa mas mataas na matematika at praktikal na mga aplikasyon.
