На цьому уроці ми досліджуватимемо світ евклідових векторів. Вектори — це фундаментальне поняття в математиці та геометрії, яке використовується для представлення величин, які мають як величину, так і напрямок. Розуміння векторів має вирішальне значення для різних застосувань у фізиці, техніці, комп’ютерній графіці тощо.
Евклідов вектор , який часто називають просто вектором, — це геометричний об’єкт, який має величину (або довжину) і напрямок. Вектори можуть бути представлені в кількох вимірах, але для простоти ми почнемо з векторів у двовимірному просторі. Вектор зазвичай малюється у вигляді стрілки, де довжина стрілки представляє величину вектора, а напрямок стрілки показує напрямок вектора.
Вектори можна представити кількома способами. Одне поширене представлення — у формі координат, наприклад \( \vec{v} = (x, y) \) , де \(x\) і \(y\) є компонентами вектора по горизонталі та вертикалі напрямків відповідно. Іншим способом представлення векторів є використання позначення \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , де \(\hat{i}\) і \(\hat{j}\) є одиничними векторами в горизонтальному та вертикальному напрямках відповідно.
Величина вектора \(\vec{v} = (x, y)\) може бути обчислена за допомогою теореми Піфагора: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Напрямок вектора часто описується за допомогою кута \(\theta\) який він утворює з позитивною віссю x, який можна визначити за допомогою тригонометрії, зокрема через функцію тангенса: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Існує кілька основних операцій, які можна виконувати з векторами, зокрема додавання , віднімання та скалярне множення .
Скалярний добуток (або скалярний добуток) двох векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) , позначений як \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , це спосіб множення векторів для отримання скаляра (числа). Скалярний добуток визначається як \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , де \(\theta\) є кутом між \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) . Якщо вектори задано їх компонентами \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) та \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , скалярний добуток можна обчислити як \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Скалярний добуток можна використовувати для визначення кута між двома векторами або для проектування одного вектора на інший.
Проекція вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) — це вектор, який представляє компонент \(\vec{a}\) у напрямку \(\vec{b}\) . Проекція визначається за формулою: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , який масштабує \(\vec{b}\) відповідно до співвідношення скалярного добутку.
У тривимірному просторі інша операція, яка називається перехресним добутком, використовується для знаходження вектора, перпендикулярного до двох інших векторів. Якщо \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) є векторами в тривимірному просторі, перехресний добуток \(\vec{a} \times \vec{b}\) є вектором, перпендикулярним до як \(\vec{a}\) так і \(\vec{b}\) величина яких дорівнює \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , а \(\theta\) — це кут між \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\) . Ця операція має вирішальне значення у фізиці та техніці для знаходження нормальних векторів до поверхонь або для обчислення крутного моменту.
Вектори знаходять застосування в багатьох областях:
Щоб візуалізувати векторне додавання, розглянемо два вектори \(\vec{a} = (3, 2)\) і \(\vec{b} = (2, 1)\) . Щоб додати ці вектори, намалюйте \(\vec{a}\) починаючи з початку (0, 0), а потім намалюйте \(\vec{b}\) починаючи з голови \(\vec{a}\) . Результуючий вектор \(\vec{r}\) йде від початку координат до початку \(\vec{b}\) , який був розміщений у початку \(\vec{a}\) . Координати \(\vec{r}\) можна обчислити як \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Евклідові вектори є важливою частиною математики та геометрії, забезпечуючи спосіб кількісної оцінки та маніпулювання величинами, які мають як величину, так і напрямок. За допомогою таких операцій, як додавання, віднімання, скалярний добуток і перехресний добуток, вектори можуть моделювати явища реального світу та вирішувати складні проблеми в різних областях. Розуміючи основні принципи векторів, ви можете побудувати основу для більш поглиблених досліджень фізики, техніки, інформатики та інших дисциплін. Геометрична інтуїція та алгебраїчні операції, представлені з векторами, прокладають шлях до більш складних концепцій, таких як векторні простори та лінійні перетворення, які відіграють вирішальну роль у вищій математиці та практичних застосуваннях.
