اس سبق میں، ہم Euclidean vectors کی دنیا کو تلاش کریں گے۔ ویکٹر ریاضی اور جیومیٹری میں ایک بنیادی تصور ہیں، جو مقداروں کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتے ہیں جن کی وسعت اور سمت دونوں ہوتی ہیں۔ فزکس، انجینئرنگ، کمپیوٹر گرافکس وغیرہ میں مختلف ایپلی کیشنز کے لیے ویکٹر کو سمجھنا بہت ضروری ہے۔
ایک یوکلیڈین ویکٹر ، جسے اکثر محض ایک ویکٹر کہا جاتا ہے، ایک ہندسی چیز ہے جس کی وسعت (یا لمبائی) اور سمت ہوتی ہے۔ ویکٹر کو متعدد جہتوں میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، لیکن سادگی کے لیے، ہم دو جہتی جگہ میں ویکٹر سے شروع کریں گے۔ ایک ویکٹر کو عام طور پر تیر کے طور پر کھینچا جاتا ہے، جہاں تیر کی لمبائی ویکٹر کی شدت کو ظاہر کرتی ہے، اور تیر کی سمت ویکٹر کی سمت کو ظاہر کرتی ہے۔
ویکٹر کو کئی طریقوں سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ایک عام نمائندگی نقاط کی شکل میں ہے، جیسے \( \vec{v} = (x, y) \) ، جہاں \(x\) اور \(y\) افقی اور عمودی میں ویکٹر کے اجزاء ہیں۔ ہدایات، بالترتیب. ویکٹرز کی نمائندگی کرنے کا دوسرا طریقہ اشارے \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) استعمال کرنا ہے، جہاں \(\hat{i}\) اور \(\hat{j}\) بالترتیب افقی اور عمودی سمتوں میں یونٹ ویکٹر ہیں۔
ایک ویکٹر کی وسعت \(\vec{v} = (x, y)\) پائتھاگورین تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جا سکتا ہے: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) ایک ویکٹر کی سمت کو اکثر زاویہ \(\theta\) استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جاتا ہے جو یہ مثبت x-axis کے ساتھ بناتا ہے، جس کا تعین مثلث کے استعمال سے کیا جا سکتا ہے، خاص طور پر ٹینجنٹ فنکشن کے ذریعے: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) ۔
کئی بنیادی کارروائیاں ہیں جو ویکٹر کے ساتھ انجام دی جاسکتی ہیں، بشمول اضافہ ، گھٹاؤ ، اور اسکیلر ضرب ۔
دو ویکٹرز کا ڈاٹ پروڈکٹ (یا اسکیلر پروڈکٹ) \(\vec{a}\) اور \(\vec{b}\) , \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، اسکیلر (نمبر) حاصل کرنے کے لیے ویکٹر کو ضرب دینے کا ایک طریقہ ہے۔ ڈاٹ پروڈکٹ کی تعریف \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) طور پر کی گئی ہے، جہاں \(\theta\) \(\vec{a}\) اور \(\vec{b}\) کے درمیان زاویہ ہے۔ اگر ویکٹر کو ان کے اجزاء، \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) اور \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) کے ذریعے دیا جاتا ہے تو ڈاٹ پروڈکٹ کا حساب لگایا جا سکتا ہے \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) ڈاٹ پروڈکٹ کو دو ویکٹروں کے درمیان زاویہ کا تعین کرنے یا ایک ویکٹر کو دوسرے پر پروجیکٹ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔
ویکٹر کا پروجیکشن \(\vec{a}\) ویکٹر پر \(\vec{b}\) ایک ویکٹر ہے جو \(\vec{a}\) کی سمت میں \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) کے جزو کی نمائندگی کرتا ہے۔ \(\vec{b}\) پروجیکشن فارمولے سے دیا گیا ہے: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) ، جو ڈاٹ پروڈکٹ کے تناسب کے مطابق \(\vec{b}\) کی پیمائش کرتا ہے۔
تین جہتی خلا میں، کراس پروڈکٹ کہلانے والا ایک اور آپریشن دو دیگر ویکٹروں کے لیے کھڑے ویکٹر کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ اگر \(\vec{a}\) اور \(\vec{b}\) 3D اسپیس میں ویکٹر ہیں تو کراس پروڈکٹ \(\vec{a} \times \vec{b}\) ایک ویکٹر ہے دونوں \(\vec{a}\) اور \(\vec{b}\) جن کی شدت \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) ، اور \(\theta\) \(\vec{a}\) اور \(\vec{b}\) کے درمیان کا زاویہ ہے۔ یہ آپریشن فزکس اور انجینئرنگ میں سطحوں پر عام ویکٹر تلاش کرنے یا ٹارک کا حساب لگانے کے لیے بہت اہم ہے۔
ویکٹر متعدد شعبوں میں ایپلی کیشنز تلاش کرتے ہیں:
ویکٹر کے اضافے کو دیکھنے کے لیے، دو ویکٹرز \(\vec{a} = (3, 2)\) اور \(\vec{b} = (2, 1)\) پر غور کریں۔ ان ویکٹرز کو شامل کرنے کے لیے، اصل (0، 0) سے شروع ہونے والی \(\vec{a}\) ڈرا کریں اور پھر \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) کے سر سے شروع کرتے ہوئے ڈرا کریں۔ . نتیجہ خیز ویکٹر \(\vec{r}\) اصل سے \(\vec{b}\) کے سر کی طرف جاتا ہے جسے \(\vec{a}\) کے سر پر رکھا گیا تھا۔ \(\vec{r}\) کے نقاط کو \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\)
Euclidean vectors ریاضی اور جیومیٹری کا ایک لازمی حصہ ہیں، جو ان مقداروں کی مقدار اور ہیرا پھیری کا طریقہ فراہم کرتے ہیں جن کی وسعت اور سمت دونوں ہوتی ہیں۔ اضافے، گھٹاؤ، ڈاٹ پروڈکٹ، اور کراس پروڈکٹ جیسے آپریشنز کے ذریعے، ویکٹر حقیقی دنیا کے مظاہر کو ماڈل بنا سکتے ہیں اور مختلف شعبوں میں پیچیدہ مسائل کو حل کر سکتے ہیں۔ ویکٹر کے بنیادی اصولوں کو سمجھ کر، آپ فزکس، انجینئرنگ، کمپیوٹر سائنس اور دیگر شعبوں میں مزید جدید علوم کی بنیاد بنا سکتے ہیں۔ ویکٹر کے ساتھ متعارف کرائے گئے جیومیٹرک انٹیشن اور الجبری آپریشنز زیادہ پیچیدہ تصورات جیسے ویکٹر اسپیس اور لکیری تبدیلیوں کے لیے راہ ہموار کرتے ہیں، جو کہ اعلیٰ ریاضی اور عملی ایپلی کیشنز میں یکساں طور پر اہم کردار ادا کرتے ہیں۔
