Ushbu darsda biz Evklid vektorlari dunyosini o'rganamiz. Vektorlar matematika va geometriyadagi asosiy tushuncha bo'lib, kattalik va yo'nalishga ega bo'lgan miqdorlarni ifodalash uchun ishlatiladi. Vektorlarni tushunish fizika, muhandislik, kompyuter grafikasi va boshqalardagi turli ilovalar uchun juda muhimdir.
Ko'pincha vektor deb ataladigan Evklid vektori kattaligi (yoki uzunligi) va yo'nalishi bo'lgan geometrik ob'ektdir. Vektorlar bir nechta o'lchamlarda ifodalanishi mumkin, ammo soddaligi uchun biz ikki o'lchovli fazodagi vektorlardan boshlaymiz. Vektor odatda o'q shaklida chiziladi, bu erda o'qning uzunligi vektorning kattaligini, o'qning yo'nalishi esa vektorning yo'nalishini ko'rsatadi.
Vektorlarni bir necha usul bilan ifodalash mumkin. Bitta umumiy tasvir koordinatalar shaklida bo'ladi, masalan \( \vec{v} = (x, y) \) , bu erda \(x\) va \(y\) gorizontal va vertikal vektorning komponentlaridir. mos ravishda yo'nalishlar. Vektorlarni ifodalashning yana bir usuli \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) belgilaridan foydalanishdir, bu erda \(\hat{i}\) va \(\hat{j}\) - mos ravishda gorizontal va vertikal yo'nalishdagi birlik vektorlari.
\(\vec{v} = (x, y)\) vektorining kattaligini Pifagor teoremasi yordamida hisoblash mumkin: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Vektorning yo'nalishi ko'pincha musbat x \(\theta\) bilan yaratadigan burchak yordamida tavsiflanadi, uni trigonometriya yordamida, xususan, tangens funktsiyasi orqali aniqlash mumkin: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Vektorlar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan bir nechta fundamental operatsiyalar mavjud, jumladan qo'shish , ayirish va skalyar ko'paytirish .
Ikkita \(\vec{a}\) va \(\vec{b}\) vektorlarining nuqta mahsuloti (yoki skalyar mahsuloti), \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) sifatida belgilanadi, skaler (son) olish uchun vektorlarni koʻpaytirish usulidir. Nuqta mahsuloti \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) sifatida aniqlanadi, bu erda \(\theta\) - \(\vec{a}\) va \(\vec{b}\) orasidagi burchak. Agar vektorlar ularning komponentlari boʻyicha berilgan boʻlsa, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) va \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , nuqta mahsulotini \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) shaklida hisoblash mumkin. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Nuqta mahsuloti ikkita vektor orasidagi burchakni aniqlash yoki bir vektorni boshqasiga proyeksiya qilish uchun ishlatilishi mumkin.
\(\vec{a}\) vektorining \(\vec{b}\) vektoriga proyeksiyasi \ \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) ) yoʻnalishida ifodalovchi vektordir. \(\vec{b}\) . Proyeksiya formula bilan berilgan: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , u \(\vec{b}\) ni nuqta mahsulot nisbatiga ko'ra o'lchaydi.
Uch o'lchovli fazoda boshqa ikkita vektorga perpendikulyar vektorni topish uchun ko'ndalang mahsulot deb ataladigan boshqa operatsiya qo'llaniladi. Agar \(\vec{a}\) va \(\vec{b}\) 3D fazoda vektor boʻlsa, oʻzaro hosila \(\vec{a} \times \vec{b}\) vektorga perpendikulyar boʻladi. ikkala \(\vec{a}\) va \(\vec{b}\) ularning kattaligi \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) , va \(\theta\) \(\vec{a}\) va \(\vec{b}\) orasidagi burchakdir. Ushbu operatsiya fizika va muhandislikda yuzalarga normal vektorlarni topish yoki momentni hisoblash uchun juda muhimdir.
Vektorlar ko'plab sohalarda ilovalarni topadi:
Vektor qo'shishni tasavvur qilish uchun ikkita vektorni ko'rib chiqing \(\vec{a} = (3, 2)\) va \(\vec{b} = (2, 1)\) . Ushbu vektorlarni qo‘shish uchun koordinata boshidan (0, 0) boshlab \(\vec{a}\) chizing va keyin \(\vec{b}\) boshidan boshlab \ \(\vec{a}\) chizing. . Natijadagi \(\vec{r}\) vektori boshlangʻichdan \(\vec{b}\) boshiga oʻtadi, u \(\vec{a}\) ning boshida joylashgan. \(\vec{r}\) koordinatalarini quyidagicha hisoblash mumkin: \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Evklid vektorlari matematika va geometriyaning muhim qismi bo'lib, kattalik va yo'nalishga ega bo'lgan miqdorlarni hisoblash va manipulyatsiya qilish usulini ta'minlaydi. Qo'shish, ayirish, nuqta ko'paytma va ko'paytma kabi operatsiyalar orqali vektorlar real dunyo hodisalarini modellashtirishi va turli sohalardagi murakkab muammolarni hal qilishlari mumkin. Vektorlarning asosiy tamoyillarini tushunib, siz fizika, muhandislik, informatika va boshqa fanlar bo'yicha yanada ilg'or tadqiqotlar uchun asos yaratishingiz mumkin. Vektorlar bilan kiritilgan geometrik sezgi va algebraik operatsiyalar vektor bo'shliqlari va chiziqli o'zgarishlar kabi murakkabroq tushunchalarga yo'l ochadi, ular oliy matematikada va amaliy ilovalarda hal qiluvchi rol o'ynaydi.
