Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá thế giới của vectơ Euclide. Vectơ là một khái niệm cơ bản trong toán học và hình học, được dùng để biểu diễn các đại lượng có cả độ lớn và hướng. Hiểu vectơ là rất quan trọng đối với các ứng dụng khác nhau trong vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính, v.v.
Vectơ Euclide , thường được gọi đơn giản là vectơ, là một đối tượng hình học có độ lớn (hoặc chiều dài) và hướng. Các vectơ có thể được biểu diễn theo nhiều chiều, nhưng để đơn giản, chúng ta sẽ bắt đầu với các vectơ trong không gian hai chiều. Một vectơ thường được vẽ dưới dạng một mũi tên, trong đó chiều dài của mũi tên biểu thị độ lớn của vectơ và hướng của mũi tên biểu thị hướng của vectơ.
Các vectơ có thể được biểu diễn theo nhiều cách. Một biểu diễn phổ biến là ở dạng tọa độ, chẳng hạn như \( \vec{v} = (x, y) \) , trong đó \(x\) và \(y\) là các thành phần của vectơ theo chiều ngang và chiều dọc hướng dẫn tương ứng. Một cách khác để biểu diễn vectơ là sử dụng ký hiệu \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} \) , trong đó \(\hat{i}\) và \(\hat{j}\) lần lượt là các vectơ đơn vị theo hướng ngang và dọc.
Độ lớn của vectơ \(\vec{v} = (x, y)\) có thể được tính bằng định lý Pythagore: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) . Hướng của vectơ thường được mô tả bằng góc \(\theta\) mà nó tạo với trục x dương, góc này có thể được xác định bằng phép đo lượng giác, cụ thể là thông qua hàm tiếp tuyến: \(\tan(\theta) = \frac{y}{x}\) .
Có một số phép toán cơ bản có thể được thực hiện với vectơ, bao gồm phép cộng , phép trừ và phép nhân vô hướng .
Tích vô hướng (hoặc tích vô hướng) của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) , được ký hiệu là \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) , là một cách nhân các vectơ để thu được một (số) vô hướng. Tích số chấm được định nghĩa là \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \) , trong đó \(\theta\) là góc giữa \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) . Nếu các vectơ được cho bởi các thành phần của chúng, \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) và \(\vec{b} = (b_x, b_y)\) , thì tích chấm có thể được tính là \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \) . Tích số chấm có thể được sử dụng để xác định góc giữa hai vectơ hoặc để chiếu một vectơ này lên một vectơ khác.
Hình chiếu của vectơ \(\vec{a}\) lên vectơ \(\vec{b}\) là một vectơ biểu thị thành phần của \(\vec{a}\) theo hướng \(\vec{b}\) . Phép chiếu được tính theo công thức: \( proj_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b} \) , chia tỷ lệ \(\vec{b}\) theo tỷ lệ tích số chấm.
Trong không gian ba chiều, một phép toán khác gọi là tích chéo được sử dụng để tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ khác. Nếu \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là các vectơ trong không gian 3D thì tích chéo \(\vec{a} \times \vec{b}\) là một vectơ vuông góc với cả \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có độ lớn \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\) và \(\theta\) là góc giữa \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) . Hoạt động này rất quan trọng trong vật lý và kỹ thuật để tìm vectơ pháp tuyến của các bề mặt hoặc trong tính toán mômen xoắn.
Các vectơ tìm thấy ứng dụng trong nhiều lĩnh vực:
Để trực quan hóa phép cộng vectơ, hãy xem xét hai vectơ \(\vec{a} = (3, 2)\) và \(\vec{b} = (2, 1)\) . Để cộng các vectơ này, hãy vẽ \(\vec{a}\) bắt đầu từ gốc (0, 0) rồi vẽ \(\vec{b}\) bắt đầu từ đầu \(\vec{a}\) . Vectơ kết quả \(\vec{r}\) đi từ điểm gốc đến phần đầu của \(\vec{b}\) được đặt ở đầu \(\vec{a}\) . Tọa độ của \(\vec{r}\) có thể được tính như \(\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (3+2, 2+1) = (5, 3)\) .
Các vectơ Euclide là một phần thiết yếu của toán học và hình học, cung cấp một cách để định lượng và thao tác các đại lượng có cả độ lớn và hướng. Thông qua các phép toán như cộng, trừ, tích chấm và tích chéo, vectơ có thể mô hình hóa các hiện tượng trong thế giới thực và giải quyết các vấn đề phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bằng cách hiểu các nguyên tắc cơ bản của vectơ, bạn có thể xây dựng nền tảng cho các nghiên cứu nâng cao hơn về vật lý, kỹ thuật, khoa học máy tính và các ngành khác. Trực quan hình học và các phép toán đại số được giới thiệu với vectơ mở đường cho các khái niệm phức tạp hơn như không gian vectơ và các phép biến đổi tuyến tính, đóng vai trò quan trọng trong toán học cao hơn cũng như các ứng dụng thực tế.
