في هذا الدرس، سنتعمق في مفهوم الدوران، وهو تحول أساسي في كل من الرياضيات والهندسة الإحداثية. يشير التدوير إلى تحريك شكل أو نقطة حول مركز ثابت في مسار دائري. ويتميز بثلاثة عوامل رئيسية: مركز الدوران، وزاوية الدوران، واتجاه الدوران (في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة).
مركز الدوران: هذه هي النقطة الثابتة التي يحدث حولها الدوران. ويمكن أن تكون نقطة داخل الشكل أو خارجه أو عند أحد رؤوسه.
زاوية الدوران: هي مقياس الدوران بالدرجات أو الراديان، مما يدل على مدى الدوران. تشير الزاوية الموجبة إلى الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة، بينما تشير الزاوية السالبة إلى الدوران في اتجاه عقارب الساعة.
اتجاه الدوران: يمكن إجراء الدوران في اتجاهين - في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.
في الهندسة الإحداثية، عندما ندير نقطة أو جسمًا، يتغير موضعه وفقًا لقواعد محددة اعتمادًا على زاوية الدوران. فيما يلي قواعد تدوير النقاط حول الأصل (0,0) في المستوى الإحداثي:
يتطلب تدوير النقاط حول أي مركز آخر \(C(h, k)\) ضبط المواضع قبل وبعد الدوران لمراعاة التحول في الأصل.
يستخدم التمثيل الرياضي للدوران مصفوفات الدوران. يمكن لمصفوفة الدوران تدوير النقاط في المستوى حول الأصل بزاوية \(\theta\) . بالنسبة للدوران عكس اتجاه عقارب الساعة، تكون مصفوفة الدوران كما يلي:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)لتدوير نقطة \(P(x, y)\) حول نقطة الأصل بزاوية \(\theta\) ، نضرب إحداثياتها في مصفوفة التدوير:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)تقوم هذه العملية بتحويل الإحداثيات الأصلية \((x, y)\) إلى الإحداثيات الجديدة \((x', y')\) بعد التدوير.
مثال 1: اعتبر نقطة \(P(2, 3)\) على المستوى الديكارتي. لتدوير هذه النقطة 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل، نطبق صيغة الدوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، مما يؤدي إلى الموضع الجديد \(P'(3, -2)\) .
مثال 2: إذا كان لدينا مستطيل زواياه \(A(1, 1)\) و \(B(1, 4)\) و \(C(5, 4)\) و \(D(5, 1)\) ، ونريد تدوير هذا المستطيل 180 درجة حول نقطة الأصل، وسيكون الموضع الجديد لكل نقطة هو \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) و \(C'(-5, -4)\) و \(D'(-5, -1)\) .
إن الدوران ليس مجرد مفهوم رياضي، بل هو أيضًا ظاهرة في العالم الحقيقي. على سبيل المثال، تدور الأرض حول محورها، مما يؤدي إلى ظهور الليل والنهار. وبالمثل، فإن دوران العجلات يسمح للمركبات بالتحرك. في الألعاب الرياضية، يستخدم الرياضيون تقنيات الدوران لتحسين أدائهم في أنشطة مثل رمي القرص أو التزلج على الجليد.
تتضمن إحدى التجارب البسيطة لفهم التدوير استخدام قطعة من الورق وقلم رصاص. ارسم شكلاً برؤوس محددة جيدًا على الورقة. قم بتثبيت الورقة عند النقطة التي ستكون بمثابة مركز الدوران. باستخدام قلم الرصاص، تتبع مسار كل قمة أثناء تدوير الورقة بزاوية معينة. تشير النقاط المتتبعة إلى المواضع الجديدة لرؤوس الشكل بعد التدوير.
يساعد فهم الدوران في العديد من المجالات غير الرياضيات والهندسة، بما في ذلك الفيزياء والهندسة ورسومات الكمبيوتر والروبوتات. وهو مفهوم أساسي في تصميم وتفسير حركة واتجاه الأشياء في المساحات ثنائية وثلاثية الأبعاد.
