এই পাঠে, আমরা ঘূর্ণনের ধারণাটি নিয়ে আলোচনা করি, যা গণিত এবং সমন্বয় জ্যামিতি উভয় ক্ষেত্রেই একটি মৌলিক রূপান্তর। ঘূর্ণন একটি বৃত্তাকার পথে একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্রের চারপাশে একটি চিত্র বা একটি বিন্দু সরানো বোঝায়। এটি তিনটি প্রধান কারণ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: ঘূর্ণনের কেন্দ্র, ঘূর্ণনের কোণ এবং ঘূর্ণনের দিক (ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে)।
ঘূর্ণন কেন্দ্র: এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু যার চারপাশে ঘূর্ণন ঘটে। এটি চিত্রের মধ্যে একটি বিন্দু হতে পারে, এটির বাইরে, বা এর শীর্ষবিন্দুগুলির একটিতে।
ঘূর্ণনের কোণ: এটি ঘূর্ণনের পরিমাপ, ডিগ্রী বা রেডিয়ানে, ঘূর্ণনের পরিমাণ নির্দেশ করে। একটি ধনাত্মক কোণ ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণন নির্দেশ করে, যখন একটি ঋণাত্মক কোণ ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন নির্দেশ করে।
ঘূর্ণনের দিক: ঘূর্ণন দুটি দিকে সঞ্চালিত হতে পারে - ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে।
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে, যখন আমরা একটি বিন্দু বা একটি বস্তুকে ঘোরাই, তখন ঘূর্ণনের কোণের উপর নির্ভর করে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে এর অবস্থান পরিবর্তিত হয়। স্থানাঙ্ক সমতলে উৎপত্তির (0,0) চারপাশে বিন্দু ঘোরানোর নিয়ম এখানে রয়েছে:
অন্য কোনো কেন্দ্রের চারপাশে ঘূর্ণন বিন্দু, \(C(h, k)\) , মূল স্থান পরিবর্তনের জন্য ঘূর্ণনের আগে এবং পরে অবস্থানগুলি সামঞ্জস্য করতে হবে।
ঘূর্ণনের গাণিতিক উপস্থাপনা ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে। একটি ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স একটি কোণ \(\theta\) মাধ্যমে উৎসের চারপাশে সমতলে বিন্দু ঘোরাতে পারে। ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণনের জন্য, ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স হল:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)একটি বিন্দু \(P(x, y)\) উৎপত্তিস্থলের চারপাশে একটি কোণ \(\theta\) দ্বারা ঘোরানোর জন্য, আমরা ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স দ্বারা এর স্থানাঙ্কগুলিকে গুণ করি:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)এই ক্রিয়াকলাপটি মূল স্থানাঙ্কগুলিকে \((x, y)\) নতুন স্থানাঙ্ক \((x', y')\) ঘূর্ণনের পরে রূপান্তরিত করে।
উদাহরণ 1: কার্টেসিয়ান সমতলে একটি বিন্দু \(P(2, 3)\) বিবেচনা করুন। এই বিন্দুটিকে 90° ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানোর জন্য, আমরা 90° ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণনের সূত্রটি প্রয়োগ করি, নতুন অবস্থান \(P'(3, -2)\) ।
উদাহরণ 2: যদি আমাদের একটি আয়তক্ষেত্র থাকে যার কোণগুলি থাকে \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , এবং \(D(5, 1)\) , এবং আমরা এই আয়তক্ষেত্রটিকে 180° মূলের চারপাশে ঘোরাতে চাই, প্রতিটি বিন্দুর নতুন অবস্থান হবে \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) , এবং \(D'(-5, -1)\) ।
ঘূর্ণন শুধুমাত্র একটি গাণিতিক ধারণা নয় বরং একটি বাস্তব-বিশ্বের ঘটনাও। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবী তার অক্ষের চারপাশে ঘোরে, যার ফলে দিন এবং রাত হয়। একইভাবে, চাকার ঘূর্ণন যানবাহন চলাচল করতে দেয়। খেলাধুলায়, ক্রীড়াবিদরা ডিসকাস থ্রো বা ফিগার স্কেটিং-এর মতো কার্যকলাপে তাদের কর্মক্ষমতা বাড়াতে ঘূর্ণন কৌশল ব্যবহার করে।
ঘূর্ণন বোঝার জন্য একটি সহজ পরীক্ষায় কাগজের টুকরো এবং একটি পেন্সিল ব্যবহার করা জড়িত। কাগজে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত শীর্ষবিন্দু সহ একটি আকৃতি আঁকুন। কাগজটিকে একটি বিন্দুতে পিন করুন যা ঘূর্ণনের কেন্দ্র হিসাবে কাজ করবে। পেন্সিল ব্যবহার করে, একটি নির্দিষ্ট কোণ দ্বারা কাগজটি ঘোরানোর সাথে সাথে প্রতিটি শীর্ষের পথটি ট্রেস করুন। আবর্তিত বিন্দুগুলি ঘূর্ণনের পরে আকৃতির শীর্ষবিন্দুগুলির নতুন অবস্থানগুলি চিহ্নিত করে৷
ঘূর্ণন বোঝা পদার্থবিদ্যা, প্রকৌশল, কম্পিউটার গ্রাফিক্স এবং রোবোটিক্স সহ গণিত এবং জ্যামিতির বাইরে অসংখ্য ক্ষেত্রে সহায়তা করে। এটি দুই এবং ত্রিমাত্রিক স্পেসে বস্তুর গতিবিধি এবং অভিযোজন ডিজাইন এবং ব্যাখ্যা করার একটি মূল ধারণা।
