En esta lección profundizamos en el concepto de rotación, una transformación fundamental tanto en matemáticas como en geometría de coordenadas. La rotación se refiere al movimiento de una figura o un punto alrededor de un centro fijo en una trayectoria circular. Se caracteriza por tres factores principales: el centro de rotación, el ángulo de rotación y la dirección de rotación (en sentido horario o antihorario).
Centro de rotación: es un punto fijo alrededor del cual se produce la rotación. Puede ser un punto dentro de la figura, fuera de ella o en uno de sus vértices.
Ángulo de rotación: esta es la medida de rotación, en grados o radianes, que indica el alcance de la rotación. Un ángulo positivo indica una rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que un ángulo negativo indica una rotación en el sentido de las agujas del reloj.
Dirección de rotación: las rotaciones se pueden realizar en dos direcciones: en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj.
En geometría de coordenadas, cuando rotamos un punto o un objeto, su posición cambia según reglas específicas dependiendo del ángulo de rotación. Estas son las reglas para rotar puntos alrededor del origen (0,0) en el plano de coordenadas:
Girar puntos alrededor de cualquier otro centro, \(C(h, k)\) , requiere ajustar las posiciones antes y después de la rotación para tener en cuenta el cambio en el origen.
La representación matemática de la rotación utiliza matrices de rotación. Una matriz de rotación puede rotar puntos en el plano alrededor del origen en un ángulo \(\theta\) . Para rotación en sentido antihorario, la matriz de rotación es:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Para rotar un punto \(P(x, y)\) alrededor del origen en un ángulo \(\theta\) , multiplicamos sus coordenadas por la matriz de rotación:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Esta operación transforma las coordenadas originales \((x, y)\) en las nuevas coordenadas \((x', y')\) después de la rotación.
Ejemplo 1: Considere un punto \(P(2, 3)\) en el plano cartesiano. Para rotar este punto 90° en sentido antihorario respecto del origen, aplicamos la fórmula para una rotación de 90° en sentido antihorario, lo que produce la nueva posición \(P'(3, -2)\) .
Ejemplo 2: Si tenemos un rectángulo con esquinas en \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) y \(D(5, 1)\) , y queremos rotar este rectángulo 180° alrededor del origen, la nueva posición de cada punto será \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) y \(D'(-5, -1)\) .
La rotación no es sólo un concepto matemático sino también un fenómeno del mundo real. Por ejemplo, la Tierra gira alrededor de su eje, lo que da como resultado el día y la noche. De manera similar, las rotaciones de las ruedas permiten que los vehículos se muevan. En los deportes, los deportistas utilizan técnicas de rotación para mejorar su rendimiento en actividades como el lanzamiento de disco o el patinaje artístico.
Un experimento sencillo para comprender la rotación implica utilizar una hoja de papel y un lápiz. Dibuja una forma con vértices bien definidos en el papel. Sujeta el papel con alfileres en un punto que servirá como centro de rotación. Con el lápiz, traza la trayectoria de cada vértice mientras giras el papel en un ángulo específico. Los puntos trazados marcan las nuevas posiciones de los vértices de la forma después de la rotación.
Comprender la rotación ayuda en numerosas áreas más allá de las matemáticas y la geometría, incluidas la física, la ingeniería, los gráficos por computadora y la robótica. Es un concepto clave en el diseño e interpretación del movimiento y orientación de objetos en espacios bidimensionales y tridimensionales.
