در این درس به مفهوم چرخش می پردازیم، یک تبدیل اساسی در ریاضیات و هندسه مختصات. چرخش به حرکت یک شکل یا یک نقطه در اطراف یک مرکز ثابت در یک مسیر دایره ای اشاره دارد. با سه عامل اصلی مشخص می شود: مرکز چرخش، زاویه چرخش و جهت چرخش (در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت).
مرکز چرخش: این یک نقطه ثابت است که چرخش در اطراف آن اتفاق می افتد. این می تواند نقطه ای در داخل شکل، خارج از آن یا در یکی از رئوس آن باشد.
زاویه چرخش: این معیار چرخش، بر حسب درجه یا رادیان است که میزان چرخش را نشان می دهد. زاویه مثبت نشان دهنده چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت است، در حالی که زاویه منفی نشان دهنده چرخش در جهت عقربه های ساعت است.
جهت چرخش: چرخش ها را می توان در دو جهت انجام داد – در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت.
در هندسه مختصات، زمانی که یک نقطه یا یک جسم را می چرخانیم، موقعیت آن بر اساس قوانین خاصی بسته به زاویه چرخش تغییر می کند. در اینجا قوانین مربوط به نقاط چرخش حول مبدا (0,0) در صفحه مختصات آمده است:
نقاط چرخش در اطراف هر مرکز دیگری، \(C(h, k)\) نیاز به تنظیم موقعیت‌های قبل و بعد از چرخش برای محاسبه تغییر در مبدا دارد.
نمایش ریاضی چرخش از ماتریس های چرخشی استفاده می کند. یک ماتریس چرخشی می تواند نقاطی را در صفحه حول مبدا از طریق یک زاویه \(\theta\) بچرخاند. برای چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت، ماتریس چرخش به صورت زیر است:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)برای چرخاندن یک نقطه \(P(x, y)\) به دور مبدا با زاویه \(\theta\) ، مختصات آن را در ماتریس چرخش ضرب می کنیم:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)این عملیات پس از چرخش مختصات اصلی \((x, y)\) به مختصات جدید \((x', y')\) تبدیل می کند.
مثال 1: یک نقطه \(P(2, 3)\) در صفحه دکارتی را در نظر بگیرید. برای چرخاندن این نقطه 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت در مورد مبدا، فرمول چرخش 90 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت را اعمال می کنیم و موقعیت جدید \(P'(3, -2)\) را به دست می آوریم.
مثال 2: اگر یک مستطیل با گوشه های \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) و \(D(5, 1)\) داشته باشیم. \(D(5, 1)\) ، و می خواهیم این مستطیل را 180 درجه به دور مبدا بچرخانیم، موقعیت جدید هر نقطه \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) خواهد بود. \(B'(-1, -4)\) ، \(C'(-5, -4)\) و \(D'(-5, -1)\) .
چرخش فقط یک مفهوم ریاضی نیست، بلکه یک پدیده واقعی است. به عنوان مثال، زمین به دور محور خود می چرخد و در نتیجه روز و شب است. به طور مشابه، چرخش چرخ ها به وسایل نقلیه اجازه حرکت می دهد. در ورزش، ورزشکاران از تکنیک های چرخشی برای افزایش عملکرد خود در فعالیت هایی مانند پرتاب دیسک یا اسکیت بازی استفاده می کنند.
یک آزمایش ساده برای درک چرخش شامل استفاده از یک تکه کاغذ و یک مداد است. شکلی با رئوس کاملا مشخص روی کاغذ بکشید. کاغذ را در نقطه ای سنجاق کنید که مرکز چرخش باشد. با استفاده از مداد، مسیر هر رأس را در حالی که کاغذ را با یک زاویه خاص می چرخانید، ترسیم کنید. نقاط ترسیم شده موقعیت های جدید رئوس شکل را پس از چرخش مشخص می کنند.
درک چرخش در زمینه های متعددی فراتر از ریاضیات و هندسه، از جمله فیزیک، مهندسی، گرافیک کامپیوتری و رباتیک کمک می کند. این یک مفهوم کلیدی در طراحی و تفسیر حرکت و جهت گیری اجسام در فضاهای دو و سه بعدی است.
