Dans cette leçon, nous approfondissons le concept de rotation, une transformation fondamentale en mathématiques et en géométrie des coordonnées. La rotation fait référence au déplacement d'une figure ou d'un point autour d'un centre fixe sur une trajectoire circulaire. Il est caractérisé par trois facteurs principaux : le centre de rotation, l’angle de rotation et le sens de rotation (dans le sens horaire ou antihoraire).
Centre de rotation : Il s'agit d'un point fixe autour duquel la rotation s'effectue. Il peut s'agir d'un point à l'intérieur de la figure, à l'extérieur de celle-ci ou à l'un de ses sommets.
Angle de rotation : Il s'agit de la mesure de rotation, en degrés ou en radians, indiquant l'étendue de la rotation. Un angle positif indique une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, tandis qu'un angle négatif indique une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.
Sens de rotation : Les rotations peuvent être effectuées dans deux sens : dans le sens horaire ou antihoraire.
En géométrie de coordonnées, lorsque l'on fait pivoter un point ou un objet, sa position change selon des règles spécifiques en fonction de l'angle de rotation. Voici les règles de rotation des points autour de l'origine (0,0) dans le plan de coordonnées :
La rotation des points autour de tout autre centre, \(C(h, k)\) , nécessite d'ajuster les positions avant et après la rotation pour tenir compte du décalage d'origine.
La représentation mathématique de la rotation utilise des matrices de rotation. Une matrice de rotation peut faire pivoter des points dans le plan autour de l'origine d'un angle \(\theta\) . Pour une rotation dans le sens antihoraire, la matrice de rotation est :
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Pour faire pivoter un point \(P(x, y)\) autour de l'origine d'un angle \(\theta\) , on multiplie ses coordonnées par la matrice de rotation :
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Cette opération transforme les coordonnées d'origine \((x, y)\) en nouvelles coordonnées \((x', y')\) après la rotation.
Exemple 1 : Considérons un point \(P(2, 3)\) sur le plan cartésien. Pour faire pivoter ce point de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'origine, nous appliquons la formule pour une rotation de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, ce qui donne la nouvelle position \(P'(3, -2)\) .
Exemple 2 : Si nous avons un rectangle avec des coins en \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) et \(D(5, 1)\) , et nous voulons faire pivoter ce rectangle de 180° autour de l'origine, la nouvelle position de chaque point sera \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) et \(D'(-5, -1)\) .
La rotation n’est pas seulement un concept mathématique mais aussi un phénomène du monde réel. Par exemple, la Terre tourne autour de son axe, ce qui donne le jour et la nuit. De même, les rotations des roues permettent aux véhicules de se déplacer. Dans le sport, les athlètes utilisent des techniques de rotation pour améliorer leurs performances dans des activités telles que le lancer du disque ou le patinage artistique.
Une expérience simple pour comprendre la rotation consiste à utiliser un morceau de papier et un crayon. Dessinez une forme avec des sommets bien définis sur le papier. Épinglez le papier à un point qui servira de centre de rotation. À l’aide du crayon, tracez le chemin de chaque sommet pendant que vous faites pivoter le papier d’un angle spécifique. Les points tracés marquent les nouvelles positions des sommets de la forme après la rotation.
Comprendre la rotation est utile dans de nombreux domaines au-delà des mathématiques et de la géométrie, notamment la physique, l'ingénierie, l'infographie et la robotique. Il s'agit d'un concept clé dans la conception et l'interprétation du mouvement et de l'orientation des objets dans des espaces bidimensionnels et tridimensionnels.
