इस पाठ में, हम घूर्णन की अवधारणा पर गहराई से विचार करेंगे, जो गणित और निर्देशांक ज्यामिति दोनों में एक मौलिक परिवर्तन है। घूर्णन का अर्थ है किसी आकृति या बिंदु को एक निश्चित केंद्र के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ पर घुमाना। यह तीन मुख्य कारकों द्वारा चिह्नित है: घूर्णन का केंद्र, घूर्णन का कोण और घूर्णन की दिशा (घड़ी की दिशा में या वामावर्त)।
घूर्णन केंद्र: यह एक निश्चित बिंदु है जिसके चारों ओर घूर्णन होता है। यह आकृति के अंदर, बाहर या उसके किसी शीर्ष पर स्थित बिंदु हो सकता है।
घूर्णन कोण: यह घूर्णन का माप है, डिग्री या रेडियन में, जो घूर्णन की सीमा को दर्शाता है। धनात्मक कोण वामावर्त घूर्णन को दर्शाता है, जबकि ऋणात्मक कोण दक्षिणावर्त घूर्णन को दर्शाता है।
घूर्णन की दिशा: घूर्णन दो दिशाओं में किया जा सकता है - दक्षिणावर्त या वामावर्त।
निर्देशांक ज्यामिति में, जब हम किसी बिंदु या वस्तु को घुमाते हैं, तो उसकी स्थिति घूर्णन कोण के आधार पर विशिष्ट नियमों के अनुसार बदलती है। निर्देशांक तल में मूल बिंदु (0,0) के चारों ओर बिंदुओं को घुमाने के नियम इस प्रकार हैं:
किसी अन्य केंद्र, \(C(h, k)\) के चारों ओर बिंदुओं को घुमाने के लिए मूल बिंदु में बदलाव को ध्यान में रखते हुए घूर्णन से पहले और बाद में स्थितियों को समायोजित करने की आवश्यकता होती है।
घूर्णन के गणितीय निरूपण में घूर्णन मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। एक घूर्णन मैट्रिक्स विमान में बिंदुओं को मूल बिंदु के चारों ओर \(\theta\) कोण से घुमा सकता है। वामावर्त घूर्णन के लिए, घूर्णन मैट्रिक्स है:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)एक बिंदु \(P(x, y)\) मूल बिंदु के चारों ओर \(\theta\) कोण से घुमाने के लिए, हम इसके निर्देशांकों को घूर्णन मैट्रिक्स से गुणा करते हैं:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)यह ऑपरेशन मूल निर्देशांक \((x, y)\) घूर्णन के बाद नए निर्देशांक \((x', y')\) में परिवर्तित कर देता है।
उदाहरण 1: कार्तीय तल पर एक बिंदु \(P(2, 3)\) पर विचार करें। इस बिंदु को मूल बिंदु के चारों ओर 90° वामावर्त घुमाने के लिए, हम 90° वामावर्त घुमाव के लिए सूत्र लागू करते हैं, जिससे नई स्थिति \(P'(3, -2)\) प्राप्त होती है।
उदाहरण 2: यदि हमारे पास \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , तथा \(D(5, 1)\) वाला एक आयत है, और हम इस आयत को मूल बिंदु के चारों ओर 180° घुमाना चाहते हैं, तो प्रत्येक बिंदु की नई स्थिति \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) , तथा \(D'(-5, -1)\) ।
घूर्णन केवल गणितीय अवधारणा ही नहीं है, बल्कि वास्तविक दुनिया की घटना भी है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है, जिसके परिणामस्वरूप दिन और रात होते हैं। इसी तरह, पहियों के घूमने से वाहन चलते हैं। खेलों में, एथलीट डिस्कस थ्रो या फ़िगर स्केटिंग जैसी गतिविधियों में अपने प्रदर्शन को बेहतर बनाने के लिए रोटेशन तकनीक का उपयोग करते हैं।
घूर्णन को समझने के लिए एक सरल प्रयोग में कागज़ के एक टुकड़े और एक पेंसिल का उपयोग करना शामिल है। कागज़ पर अच्छी तरह से परिभाषित शीर्षों के साथ एक आकृति बनाएं। कागज़ को एक ऐसे बिंदु पर पिन करें जो घूर्णन के केंद्र के रूप में काम करेगा। पेंसिल का उपयोग करके, कागज़ को एक विशिष्ट कोण से घुमाते समय प्रत्येक शीर्ष के पथ का पता लगाएँ। ट्रेस किए गए बिंदु घूर्णन के बाद आकृति के शीर्षों की नई स्थिति को चिह्नित करते हैं।
घूर्णन को समझना गणित और ज्यामिति से परे भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स और रोबोटिक्स सहित कई क्षेत्रों में मदद करता है। यह दो और तीन आयामी स्थानों में वस्तुओं की गति और अभिविन्यास को डिजाइन करने और व्याख्या करने में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।
