U ovoj lekciji zalazimo u koncept rotacije, temeljnu transformaciju u matematici i koordinatnoj geometriji. Rotacija se odnosi na pomicanje figure ili točke oko fiksnog središta po kružnoj putanji. Karakteriziraju ga tri glavna čimbenika: središte rotacije, kut rotacije i smjer rotacije (u smjeru kazaljke na satu ili suprotno).
Središte rotacije: Ovo je fiksna točka oko koje se događa rotacija. To može biti točka unutar figure, izvan nje ili na jednom od njezinih vrhova.
Kut rotacije: Ovo je mjera rotacije, u stupnjevima ili radijanima, koja pokazuje opseg rotacije. Pozitivan kut označava rotaciju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dok negativni kut označava rotaciju u smjeru kazaljke na satu.
Smjer rotacije: Rotacije se mogu izvoditi u dva smjera - u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru.
U koordinatnoj geometriji, kada rotiramo točku ili objekt, njegov položaj se mijenja prema određenim pravilima ovisno o kutu rotacije. Evo pravila za rotiranje točaka oko ishodišta (0,0) u koordinatnoj ravnini:
Rotiranje točaka oko bilo kojeg drugog središta, \(C(h, k)\) , zahtijeva podešavanje položaja prije i poslije rotacije kako bi se uzela u obzir promjena u ishodištu.
Matematički prikaz rotacije koristi rotacijske matrice. Matrica rotacije može rotirati točke u ravnini oko ishodišta za kut \(\theta\) . Za rotaciju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, matrica rotacije je:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Da bismo zarotirali točku \(P(x, y)\) oko ishodišta za kut \(\theta\) , pomnožimo njene koordinate s matricom rotacije:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Ova operacija transformira izvorne koordinate \((x, y)\) u nove koordinate \((x', y')\) nakon rotacije.
Primjer 1: Razmotrimo točku \(P(2, 3)\) na Kartezijevoj ravnini. Za rotaciju ove točke za 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko ishodišta, primjenjujemo formulu za rotaciju od 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dajući novi položaj \(P'(3, -2)\) .
Primjer 2: Ako imamo pravokutnik s kutovima na \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) i \(D(5, 1)\) ) \(D(5, 1)\) , a želimo rotirati ovaj pravokutnik za 180° oko ishodišta, nova pozicija svake točke bit će \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) i \(D'(-5, -1)\) .
Rotacija nije samo matematički koncept već i fenomen stvarnog svijeta. Na primjer, Zemlja se okreće oko svoje osi, što rezultira danom i noću. Slično tome, rotacija kotača omogućuje kretanje vozila. U sportu, sportaši koriste tehnike rotacije kako bi poboljšali svoju izvedbu u aktivnostima kao što su bacanje diska ili umjetničko klizanje.
Jedan jednostavan eksperiment za razumijevanje rotacije uključuje korištenje komada papira i olovke. Na papiru nacrtajte oblik s dobro definiranim vrhovima. Pričvrstite papir na točku koja će služiti kao središte rotacije. Koristeći olovku, iscrtajte putanju svakog vrha dok rotirate papir za određeni kut. Iscrtane točke označavaju nove položaje vrhova oblika nakon rotacije.
Razumijevanje rotacije pomaže u brojnim područjima izvan matematike i geometrije, uključujući fiziku, inženjerstvo, računalnu grafiku i robotiku. To je ključni koncept u projektiranju i interpretaciji kretanja i orijentacije objekata u dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim prostorima.
