Dalam pelajaran ini, kita mempelajari konsep rotasi, transformasi mendasar dalam matematika dan geometri koordinat. Rotasi mengacu pada pergerakan suatu bangun atau titik di sekitar pusat tetap dalam jalur melingkar. Hal ini ditandai dengan tiga faktor utama: pusat putaran, sudut putaran, dan arah putaran (searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam).
Pusat Rotasi: Ini adalah titik tetap di mana rotasi terjadi. Ini bisa berupa titik di dalam gambar, di luar gambar, atau di salah satu titik sudutnya.
Sudut Rotasi: Ini adalah ukuran rotasi, dalam derajat atau radian, yang menunjukkan tingkat rotasi. Sudut positif menunjukkan putaran berlawanan arah jarum jam, sedangkan sudut negatif menunjukkan putaran searah jarum jam.
Arah Rotasi: Rotasi dapat dilakukan dalam dua arah - searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.
Dalam geometri koordinat, ketika kita memutar suatu titik atau suatu benda, posisinya berubah menurut aturan tertentu tergantung pada sudut rotasinya. Berikut aturan memutar titik di sekitar titik asal (0,0) pada bidang koordinat:
Memutar titik di sekitar pusat lainnya, \(C(h, k)\) , memerlukan penyesuaian posisi sebelum dan sesudah rotasi untuk memperhitungkan pergeseran titik asal.
Representasi matematis rotasi menggunakan matriks rotasi. Matriks rotasi dapat memutar titik-titik pada bidang di sekitar titik asal melalui suatu sudut \(\theta\) . Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, matriks rotasinya adalah:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Untuk memutar titik \(P(x, y)\) di sekitar titik asal dengan sudut \(\theta\) , kita mengalikan koordinatnya dengan matriks rotasi:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Operasi ini mengubah koordinat asli \((x, y)\) menjadi koordinat baru \((x', y')\) setelah rotasi.
Contoh 1: Perhatikan sebuah titik \(P(2, 3)\) pada bidang Kartesius. Untuk memutar titik ini 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, kita menerapkan rumus untuk rotasi 90° berlawanan arah jarum jam, sehingga menghasilkan posisi baru \(P'(3, -2)\) .
Contoh 2: Jika kita mempunyai persegi panjang dengan sudut di \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) , dan \(D(5, 1)\) , dan kita ingin memutar persegi panjang ini 180° di sekitar titik asal, posisi baru setiap titik akan menjadi \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) , dan \(D'(-5, -1)\) .
Rotasi bukan hanya sekedar konsep matematika tetapi juga fenomena dunia nyata. Misalnya bumi berputar pada porosnya sehingga terjadi siang dan malam. Demikian pula putaran roda memungkinkan kendaraan bergerak. Dalam olahraga, atlet menggunakan teknik rotasi untuk meningkatkan performanya dalam aktivitas seperti lempar cakram atau seluncur indah.
Salah satu eksperimen sederhana untuk memahami rotasi melibatkan penggunaan selembar kertas dan pensil. Gambarlah sebuah bentuk dengan simpul yang jelas di atas kertas. Sematkan kertas pada titik yang akan menjadi pusat putaran. Dengan menggunakan pensil, telusuri jalur setiap titik saat Anda memutar kertas dengan sudut tertentu. Titik-titik yang dilacak menandai posisi baru dari simpul bentuk setelah rotasi.
Memahami rotasi membantu dalam berbagai bidang selain matematika dan geometri, termasuk fisika, teknik, grafik komputer, dan robotika. Ini adalah konsep kunci dalam merancang dan menafsirkan pergerakan dan orientasi objek dalam ruang dua dan tiga dimensi.
