In questa lezione approfondiremo il concetto di rotazione, una trasformazione fondamentale sia in matematica che in geometria delle coordinate. La rotazione si riferisce allo spostamento di una figura o di un punto attorno a un centro fisso in un percorso circolare. È caratterizzato da tre fattori principali: il centro di rotazione, l'angolo di rotazione e il senso di rotazione (orario o antiorario).
Centro di rotazione: punto fisso attorno al quale avviene la rotazione. Può essere un punto all'interno della figura, all'esterno o in uno dei suoi vertici.
Angolo di rotazione: questa è la misura della rotazione, in gradi o radianti, che indica l'entità della rotazione. Un angolo positivo indica una rotazione in senso antiorario, mentre un angolo negativo indica una rotazione in senso orario.
Direzione di rotazione: le rotazioni possono essere eseguite in due direzioni: in senso orario o antiorario.
Nella geometria delle coordinate, quando ruotiamo un punto o un oggetto, la sua posizione cambia secondo regole specifiche a seconda dell'angolo di rotazione. Ecco le regole per ruotare i punti attorno all'origine (0,0) nel piano delle coordinate:
La rotazione dei punti attorno a qualsiasi altro centro, \(C(h, k)\) , richiede la regolazione delle posizioni prima e dopo la rotazione per tenere conto dello spostamento dell'origine.
La rappresentazione matematica della rotazione utilizza matrici di rotazione. Una matrice di rotazione può ruotare i punti nel piano attorno all'origine di un angolo \(\theta\) . Per la rotazione in senso antiorario, la matrice di rotazione è:
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)Per ruotare un punto \(P(x, y)\) attorno all'origine di un angolo \(\theta\) , moltiplichiamo le sue coordinate per la matrice di rotazione:
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)Questa operazione trasforma le coordinate originali \((x, y)\) nelle nuove coordinate \((x', y')\) dopo la rotazione.
Esempio 1: Consideriamo un punto \(P(2, 3)\) sul piano cartesiano. Per ruotare questo punto di 90° in senso antiorario attorno all'origine, applichiamo la formula per una rotazione in senso antiorario di 90°, ottenendo la nuova posizione \(P'(3, -2)\) .
Esempio 2: se abbiamo un rettangolo con angoli in \(A(1, 1)\) , \(B(1, 4)\) , \(C(5, 4)\) e \(D(5, 1)\) e vogliamo ruotare questo rettangolo di 180° attorno all'origine, la nuova posizione di ciascun punto sarà \(A'(-1, -1)\) , \(B'(-1, -4)\) , \(C'(-5, -4)\) , e \(D'(-5, -1)\) .
La rotazione non è solo un concetto matematico ma anche un fenomeno del mondo reale. Ad esempio, la Terra ruota attorno al proprio asse, determinando il giorno e la notte. Allo stesso modo, la rotazione delle ruote consente ai veicoli di muoversi. Nello sport, gli atleti utilizzano tecniche di rotazione per migliorare le proprie prestazioni in attività come il lancio del disco o il pattinaggio artistico.
Un semplice esperimento per comprendere la rotazione prevede l'uso di un pezzo di carta e di una matita. Disegna una forma con vertici ben definiti sul foglio. Appunta la carta in un punto che fungerà da centro di rotazione. Usando la matita, traccia il percorso di ciascun vertice mentre ruoti la carta di un angolo specifico. I punti tracciati segnano le nuove posizioni dei vertici della forma dopo la rotazione.
Comprendere la rotazione aiuta in numerose aree oltre alla matematica e alla geometria, tra cui fisica, ingegneria, computer grafica e robotica. È un concetto chiave nella progettazione e interpretazione del movimento e dell'orientamento degli oggetti negli spazi bi e tridimensionali.
