このレッスンでは、数学と座標幾何学の両方における基本的な変換である回転の概念について詳しく学びます。回転とは、円形の経路で固定された中心の周りを図形または点を移動させることです。回転は、回転の中心、回転角度、回転方向 (時計回りまたは反時計回り) という 3 つの主な要素によって特徴付けられます。
回転の中心:これは回転の基準となる固定点です。図形の内部、外部、または頂点のいずれかの点にすることができます。
回転角度:これは回転の程度を度またはラジアンで表した値です。回転の程度を示します。正の角度は反時計回りの回転を示し、負の角度は時計回りの回転を示します。
回転方向:回転は時計回りまたは反時計回りの 2 つの方向に実行できます。
座標幾何学では、点またはオブジェクトを回転させると、回転角度に応じた特定の規則に従ってその位置が変わります。座標平面で原点 (0,0) を中心に点を回転させる規則は次のとおりです。
他の中心\(C(h, k)\)を中心に点を回転させるには、原点のシフトを考慮して回転前と回転後の位置を調整する必要があります。
回転の数学的表現には回転行列を使用します。回転行列は、平面上の点を原点を中心に角度\(\theta\)で回転させることができます。反時計回りの回転の場合、回転行列は次のようになります。
\( R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \)点\(P(x, y)\)原点を中心に角度\(\theta\)だけ回転させるには、その座標に回転行列を掛けます。
\( P'(x', y') = R(\theta) \cdot P(x, y) \)この操作は、元の座標\((x, y)\)回転後の新しい座標\((x', y')\)に変換します。
例 1:デカルト平面上の点\(P(2, 3)\)を考えます。この点を原点を中心に反時計回りに 90° 回転するには、反時計回りに 90° 回転する式を適用して、新しい位置\(P'(3, -2)\)を生成します。
例 2: \(A(1, 1)\) 、 \(B(1, 4)\) 、 \(C(5, 4)\) 、 \(D(5, 1)\)の角を持つ長方形があり、この長方形を原点を中心に 180° 回転させると、各点の新しい位置は\(A'(-1, -1)\) 、 \(B'(-1, -4)\) 、 \(C'(-5, -4)\) 、 \(D'(-5, -1)\) 。
回転は単なる数学的概念ではなく、現実世界の現象でもあります。たとえば、地球は軸を中心に回転し、昼と夜を生み出します。同様に、車輪が回転することで乗り物が移動します。スポーツでは、円盤投げやフィギュアスケートなどの競技で、選手は回転技術を利用してパフォーマンスを向上させます。
回転を理解するための簡単な実験として、紙と鉛筆を使う方法があります。紙の上に頂点がはっきりした図形を描きます。回転の中心となる点に紙を固定します。鉛筆を使って、紙を特定の角度で回転させながら、各頂点の軌跡をトレースします。トレースした点は、回転後の図形の頂点の新しい位置を示します。
回転を理解することは、数学や幾何学だけでなく、物理学、工学、コンピュータ グラフィックス、ロボット工学など、さまざまな分野で役立ちます。回転は、2 次元および 3 次元空間における物体の動きと方向を設計および解釈する上で重要な概念です。
